Autokorelacja sumy sygnałów sinusoidalnych

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Vilishion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 6 lip 2011, o 13:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 3 razy

Autokorelacja sumy sygnałów sinusoidalnych

Post autor: Vilishion »

Witam,

Próbuję wyprowadzić wzór na autokorelację sygnału, będącego sumą sygnałów sinusoidalnych. Mam nadzieję, iż zamieszczam zadanie w dobrym dziale

\(\displaystyle{ x(t)= \sum_{k=1}^{M} A _{k} \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot f _{k} \cdot t + \alpha _{k} )}\)

Sprowadza się to do obliczenia:
\(\displaystyle{ R _{x} (\tau)= \int_{- \infty }^{ \infty } \left[ \sum_{k=1}^{M}A _{k} \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot f _{k} \cdot t + \alpha _{k}) \right] \cdot \left[ \sum_{k=1}^{M}A _{k} \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot f _{k} \cdot (t- \tau) + \alpha _{k}) \right] dt}\)

Drugą częścią zadania jest zrobienie tego samego dla sygnału dyskretnego:

\(\displaystyle{ x(n)=\sum_{k=1}^{M} A_{k} \cdot sin(2 \pi \frac{f_{k}}{f_{p}} n + \alpha_{k})}\)

Wzory, które należy otrzymać:

\(\displaystyle{ R_{x}(\tau)=\sum_{k=1}^{M} \frac{A_{k}^2}{2} cos(2 \pi f_{k} \tau)}\)

\(\displaystyle{ R_{x}(m)=\sum_{k=1}^{M} \frac{A_{k}^2}{2} cos(2 \pi \frac{f_{k}}{f_{p}} m)}\)

Muszę zrobić to korzystając z definicji autokorelacji.
Spróbowałem zamienić iloczyn sum do podwójnej sumy i włączyć całkę pod nią, ale nadal nie wiem co zrobić dalej. Oprócz tego wydaje mi się, że w końcu otrzymamy całkę od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) z sinusa, która nie istnieje.

Dziękuję za wszelką pomoc.
ODPOWIEDZ