Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Post autor: leszczu450 »

Cześć !

Stwierdzenie:

Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie standardowym procesem Wienera względem pewnej filtracji \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\). Wtedy proces \(\displaystyle{ W}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{M}=\left\{ M_t=W_t^2 -t\right\}_{t \ge 0}}\) są martyngałami względem \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\).

Dowód:

Z założenia proces \(\displaystyle{ W}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) adaptowalny, więc pierwszy warunek jest spełniony.

Drugi warunek- całkowalność. Zauważam, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_t)=0 < + \infty}\), a zatem proces jest całkowalny dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\).

I ostatni warunek na martyngał:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_t|\mathcal{F}_s)= \mathbb{E}(W_t-W_s+W_s | \mathcal{F}_s)= \mathbb{E}(W_t - W_s | \mathcal{F}_s)+ \mathbb{E}(W_s|\mathcal{F}_s)=\\= \mathbb{E}(W_t-W_s) + W_s = 0 + W_s = W_s}\)

Powołałem się tutaj na fakt, że proces Wienera ma przyrosty niezależne względem filtracji oraz na podstawowe fakty odnośnie WWO- mierzalność i niezależność.

Zatem proces \(\displaystyle{ W}\) jest martyngałem przy filtracji \(\displaystyle{ \mathbb{F}= \left\{ \mathcal{F}_t\right\}_{t \ge 0}}\).

Tutaj chyba wszystko dobrze zrobiłem. Teraz druga część:

Sprawdzę najpierw, czy proces \(\displaystyle{ \mathbb{M}}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) adaptowalny. Oczwyiście \(\displaystyle{ W}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) adaptowalny, czyli dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) mamy, że \(\displaystyle{ W_t}\) jest mierzalne względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t}\). Z teorii miary wiemy, że kwadrat funkcji mierzalnej jest mierzalny, oraz stała jest zawsze mierzalna oraz suma, różnica funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną. Oczywiście wszystko względem odpowiednich sigma ciał. Zatem proces \(\displaystyle{ W_t^2 -t}\) jest mierzalny względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) czyli mamy adaptowalność procesu \(\displaystyle{ \mathbb{M}}\).

Teraz całkowalność.

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_t^2-t)= \mathbb{E}(W_t^2) -t= t-t=0< \infty}\)

Zatem mamy całkowalność.

I ostatni warunek:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(M_t|\mathcal{F}_s)= \mathbb{E}((W_t-W_s)^2 + 2W_tW_s - W_s^2 -t | \mathcal{F}_s)= \mathbb{E}((W_t-W_s)^2|\mathcal{F}_s) + 2\mathbb{E}(W_tW_s|\mathcal{F}_s) - \mathbb{E}(W_s^2|\mathcal{F}_s) -t= \mathbb{E}((W_t-W_s)^2) + 2W_s \mathbb{E}(W_t|\mathcal{F}_s) - W_s^2 -t =\\= t-s 2W_s^2 - W_s^2-t = M_s}\)

I tutaj mam jedną wątpliwość.

Wiem, że \(\displaystyle{ W_t-W_s}\) jest niezależne względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_s}\) dla \(\displaystyle{ s \le t}\). Ale czy to oznacza, że również \(\displaystyle{ (W_t-W_s)^2}\) jest niezależny względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_s}\) ? Jak to wytłumaczyć?

Czy ogólnie dowód przeprowadzony jest poprawnie?

Z góry dzięki!
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Post autor: robertm19 »

Tak, jest takie tweirdzenie w jakubowskim, że jak dwie zmienne losowe są niezależne względem siebie, to biorąc dowolne funkcje borelowskie, gdzie jedna jest funkcją zależną od jednej zmiennej a druga zależna od drugiej zmiennej, to powstałe zmienne losowe też są niezależne.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Post autor: leszczu450 »

robertm19, która to strona? Przyjrzałbym się temu chętnie.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Post autor: robertm19 »

101 w tej rozszerzonej wersji z białą okładką.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Post autor: leszczu450 »

robertm19, Dzięki! : ) Zabieram się za lekturę.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Post autor: leszczu450 »

Mam jeszcze jedno pytanie. Po tym dowodzie mam następujący komenatarz:

Te dwie własności całkowicie charakteryzują proces Wienera. Jeżeli \(\displaystyle{ X, X^2-t}\) są martyngałami, to \(\displaystyle{ X}\) jest procesem Wienera.

O co tu chodzi? Przecież twierdzenie było w drugą stronę.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Post autor: robertm19 »

Mówi o tym tw. Leviego, ale mam tylko szkic dowodu.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Post autor: leszczu450 »

robertm19, poprosiłbym i o szkic : )
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Pewna charakteryzacja procesu Wienera

Post autor: robertm19 »

Prześlij maila na pw. Szkic jest po angielsku.
ODPOWIEDZ