Pewna charakteryzacja procesu Wienera
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Pewna charakteryzacja procesu Wienera
Cześć !
Stwierdzenie:
Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie standardowym procesem Wienera względem pewnej filtracji \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\). Wtedy proces \(\displaystyle{ W}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{M}=\left\{ M_t=W_t^2 -t\right\}_{t \ge 0}}\) są martyngałami względem \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\).
Dowód:
Z założenia proces \(\displaystyle{ W}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) adaptowalny, więc pierwszy warunek jest spełniony.
Drugi warunek- całkowalność. Zauważam, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_t)=0 < + \infty}\), a zatem proces jest całkowalny dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\).
I ostatni warunek na martyngał:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_t|\mathcal{F}_s)= \mathbb{E}(W_t-W_s+W_s | \mathcal{F}_s)= \mathbb{E}(W_t - W_s | \mathcal{F}_s)+ \mathbb{E}(W_s|\mathcal{F}_s)=\\= \mathbb{E}(W_t-W_s) + W_s = 0 + W_s = W_s}\)
Powołałem się tutaj na fakt, że proces Wienera ma przyrosty niezależne względem filtracji oraz na podstawowe fakty odnośnie WWO- mierzalność i niezależność.
Zatem proces \(\displaystyle{ W}\) jest martyngałem przy filtracji \(\displaystyle{ \mathbb{F}= \left\{ \mathcal{F}_t\right\}_{t \ge 0}}\).
Tutaj chyba wszystko dobrze zrobiłem. Teraz druga część:
Sprawdzę najpierw, czy proces \(\displaystyle{ \mathbb{M}}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) adaptowalny. Oczwyiście \(\displaystyle{ W}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) adaptowalny, czyli dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) mamy, że \(\displaystyle{ W_t}\) jest mierzalne względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t}\). Z teorii miary wiemy, że kwadrat funkcji mierzalnej jest mierzalny, oraz stała jest zawsze mierzalna oraz suma, różnica funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną. Oczywiście wszystko względem odpowiednich sigma ciał. Zatem proces \(\displaystyle{ W_t^2 -t}\) jest mierzalny względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) czyli mamy adaptowalność procesu \(\displaystyle{ \mathbb{M}}\).
Teraz całkowalność.
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_t^2-t)= \mathbb{E}(W_t^2) -t= t-t=0< \infty}\)
Zatem mamy całkowalność.
I ostatni warunek:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(M_t|\mathcal{F}_s)= \mathbb{E}((W_t-W_s)^2 + 2W_tW_s - W_s^2 -t | \mathcal{F}_s)= \mathbb{E}((W_t-W_s)^2|\mathcal{F}_s) + 2\mathbb{E}(W_tW_s|\mathcal{F}_s) - \mathbb{E}(W_s^2|\mathcal{F}_s) -t= \mathbb{E}((W_t-W_s)^2) + 2W_s \mathbb{E}(W_t|\mathcal{F}_s) - W_s^2 -t =\\= t-s 2W_s^2 - W_s^2-t = M_s}\)
I tutaj mam jedną wątpliwość.
Wiem, że \(\displaystyle{ W_t-W_s}\) jest niezależne względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_s}\) dla \(\displaystyle{ s \le t}\). Ale czy to oznacza, że również \(\displaystyle{ (W_t-W_s)^2}\) jest niezależny względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_s}\) ? Jak to wytłumaczyć?
Czy ogólnie dowód przeprowadzony jest poprawnie?
Z góry dzięki!
Stwierdzenie:
Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie standardowym procesem Wienera względem pewnej filtracji \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\). Wtedy proces \(\displaystyle{ W}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{M}=\left\{ M_t=W_t^2 -t\right\}_{t \ge 0}}\) są martyngałami względem \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\).
Dowód:
Z założenia proces \(\displaystyle{ W}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) adaptowalny, więc pierwszy warunek jest spełniony.
Drugi warunek- całkowalność. Zauważam, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_t)=0 < + \infty}\), a zatem proces jest całkowalny dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\).
I ostatni warunek na martyngał:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_t|\mathcal{F}_s)= \mathbb{E}(W_t-W_s+W_s | \mathcal{F}_s)= \mathbb{E}(W_t - W_s | \mathcal{F}_s)+ \mathbb{E}(W_s|\mathcal{F}_s)=\\= \mathbb{E}(W_t-W_s) + W_s = 0 + W_s = W_s}\)
Powołałem się tutaj na fakt, że proces Wienera ma przyrosty niezależne względem filtracji oraz na podstawowe fakty odnośnie WWO- mierzalność i niezależność.
Zatem proces \(\displaystyle{ W}\) jest martyngałem przy filtracji \(\displaystyle{ \mathbb{F}= \left\{ \mathcal{F}_t\right\}_{t \ge 0}}\).
Tutaj chyba wszystko dobrze zrobiłem. Teraz druga część:
Sprawdzę najpierw, czy proces \(\displaystyle{ \mathbb{M}}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) adaptowalny. Oczwyiście \(\displaystyle{ W}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) adaptowalny, czyli dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) mamy, że \(\displaystyle{ W_t}\) jest mierzalne względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t}\). Z teorii miary wiemy, że kwadrat funkcji mierzalnej jest mierzalny, oraz stała jest zawsze mierzalna oraz suma, różnica funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną. Oczywiście wszystko względem odpowiednich sigma ciał. Zatem proces \(\displaystyle{ W_t^2 -t}\) jest mierzalny względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) czyli mamy adaptowalność procesu \(\displaystyle{ \mathbb{M}}\).
Teraz całkowalność.
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(W_t^2-t)= \mathbb{E}(W_t^2) -t= t-t=0< \infty}\)
Zatem mamy całkowalność.
I ostatni warunek:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(M_t|\mathcal{F}_s)= \mathbb{E}((W_t-W_s)^2 + 2W_tW_s - W_s^2 -t | \mathcal{F}_s)= \mathbb{E}((W_t-W_s)^2|\mathcal{F}_s) + 2\mathbb{E}(W_tW_s|\mathcal{F}_s) - \mathbb{E}(W_s^2|\mathcal{F}_s) -t= \mathbb{E}((W_t-W_s)^2) + 2W_s \mathbb{E}(W_t|\mathcal{F}_s) - W_s^2 -t =\\= t-s 2W_s^2 - W_s^2-t = M_s}\)
I tutaj mam jedną wątpliwość.
Wiem, że \(\displaystyle{ W_t-W_s}\) jest niezależne względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_s}\) dla \(\displaystyle{ s \le t}\). Ale czy to oznacza, że również \(\displaystyle{ (W_t-W_s)^2}\) jest niezależny względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_s}\) ? Jak to wytłumaczyć?
Czy ogólnie dowód przeprowadzony jest poprawnie?
Z góry dzięki!
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Pewna charakteryzacja procesu Wienera
Tak, jest takie tweirdzenie w jakubowskim, że jak dwie zmienne losowe są niezależne względem siebie, to biorąc dowolne funkcje borelowskie, gdzie jedna jest funkcją zależną od jednej zmiennej a druga zależna od drugiej zmiennej, to powstałe zmienne losowe też są niezależne.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Pewna charakteryzacja procesu Wienera
Mam jeszcze jedno pytanie. Po tym dowodzie mam następujący komenatarz:
Te dwie własności całkowicie charakteryzują proces Wienera. Jeżeli \(\displaystyle{ X, X^2-t}\) są martyngałami, to \(\displaystyle{ X}\) jest procesem Wienera.
O co tu chodzi? Przecież twierdzenie było w drugą stronę.
Te dwie własności całkowicie charakteryzują proces Wienera. Jeżeli \(\displaystyle{ X, X^2-t}\) są martyngałami, to \(\displaystyle{ X}\) jest procesem Wienera.
O co tu chodzi? Przecież twierdzenie było w drugą stronę.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy