Rozkład wykładniczy

[miecczybyc]

Produkcja opon samochodowych w pewnej fabryce jest całkowicie zautomatyzowana. W trakcie dwuletniej obserwacji zauważono, że czas pomiędzy opuszczeniem taśmy produkcyjnej przez dwie kolejne opony jest zmienną losową \(\displaystyle{ X}\), która ma rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną równą 20 sekund. Znaleźć:
a) funkcję gęstości i dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\),
b) medianę tego rozkładu,
c) \(\displaystyle{ P(15 \le X \le 20)}\),
d) \(\displaystyle{ P(X>25)}\).

funkcja gęstości:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\lambda} e^{\frac{-x}{\lambda}}, \ dla \ x \ge 0 \\
0, \ dla \ x<0\\
\end{cases}}\)

Jak zacząć zadanie?
Czy: \(\displaystyle{ P(X=20) = \int_{20}^{20} \frac{1}{\lambda} e^{\frac{-x}{\lambda}}\) ?

[Kartezjusz]

Jak masz wartość oczekiwaną, to masz parametr, a jak masz funkcję gęstości , liczysz dystrybuantę. Mediana to rozwiązanie równania \(\displaystyle{ F(x) = \frac{1}{2}}\)