Proces Wienera i trajektorie

[leszczu450]

Cześć !

Głupich pytań nie ma. Ale moje jest głupie! Nie mogę do końca zrozumieć, co to jest trajektoria w procesie Wienera. Albo ogólnie- w procecie stochastycznym.

Mam dany proces stochastyczny \(\displaystyle{ X= \left\{ X_t\right\}_{t \ge 0}}\). Wówczas trajektoria to funkcja taka, że \(\displaystyle{ t \mapsto X_t(\omega)}\). Czyli trajektoria to taka funkcja, która każdej liczbie rzeczywsitej dodatniej \(\displaystyle{ t}\) przyporzadkowuje pewną zmienna losową \(\displaystyle{ X_t}\), zgadza się? Jak rozumieć tutaj trajektorie? Jest to taka rodzina funkcji?

Z góry dzięki.

[Adifek]

Nie, nie zgadza się. Przede wszystkim, formalnie proces należy rozumieć tak jako \(\displaystyle{ \left\{ X(t,\omega ) : t\in T, \omega \in \Omega\right\}}\). Niby to samo, ale jednak zaznacza równorzędność obu zmiennych

Trajektoria procesu to funkcja, która dla ustalonej \(\displaystyle{ \omega}\) przyporządkowuje \(\displaystyle{ t\to X(t, \omega )}\). Zdarzenie elementarne jest ustalone, więc nie przyporządkowujemy żadnych zmiennych losowych, tylko ich bardzo konkretne realizacje, a więc zwyczajnie punkty z przestrzeni stanów (zwykle myślimy o liczbach).

Innymi słowy: trajektoria dla zadanej \(\displaystyle{ \omega}\) jest funkcją deterministyczną.

Intuicja:
Myślisz sobie, że na początku jakaś magiczna machina losuje omegę. Dla tej wylosowanej rysuje realizacje wszystkich zmiennych \(\displaystyle{ X_t}\). Innymi słowy trajektoria to taka pojedyncza realizacja procesu (jako całości).

[leszczu450]

Adifek, dzięki! A więc mówiąc o tym, że proces Wienera ma prawie wszystkie trajektorie ciągłe należy rozumieć, że dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) funkcja \(\displaystyle{ t \mapsto X_t(\omega)}\) jest funkcją ciągłą, tak? Ale ja mam jeszcze inne pytanie. Mówisz, że rysuje wówczas te konkertne punkty, te realizacje, otrzymuję zatem pewną rodzinę \(\displaystyle{ \left\{ X_{t_1}(\omega), X_{t_2}(\omega), \ldots , X_{t_n}(\omega) , \ldots\right\}}\). To już są pewne liczby(zakładam tutaj, ze przestrzeń stanów to \(\displaystyle{ \RR}\)). I czym w zadzie jest ta rodzina ? Nadal mam problem, ze zrozumieniem co to jest trajektoria... Ewidentnie.

Powstaje mi wówczas pewien wykres, tak? Na osi rzędnych mam czas: \(\displaystyle{ t_1<t_2< \ldots < t_n< \ldots}\), zaś na osi odciętych mam wartości \(\displaystyle{ X_{t_1}(\omega), X_{t_2}(\omega), \ldots}\). I tutaj na omega jest konkretna, ustalona! Otrzymuję więc pewien wykres i wówczas jeżeli ten wykres nie ma skoków albo innych rodzajów nieciągłości, to mówimy, że ta dana trajektoria, dla tej konkretnej omegi jest ciągła. Teraz chyba mówię dobrze.-- 25 mar 2015, o 15:09 --

Innymi słowy: trajektoria dla zadanej \(\displaystyle{ \omega}\) jest funkcją deterministyczną.

To jak odniesiesz się do Definicji 1.2 ze skryptu do analizy stochastycznej Rafała Latały? Przytoczę:

Trajektorią procesu \(\displaystyle{ X}\) nazywamy funkcję (losową!) \(\displaystyle{ t \to X_t (\omega)}\) , określoną na zbiorze \(\displaystyle{ T}\) o wartościach w \(\displaystyle{ E}\).

Tutaj nawet autor podkreśla, że jest to losowe, a Ty podkreślasz, ze jest to deterministyczne. O co tutaj chodzi?

[Adifek]

1. Mylisz osie układu współrzędnych.

2.

Tutaj nawet autor podkreśla, że jest to losowe, a Ty podkreślasz, ze jest to deterministyczne. O co tutaj chodzi?

Tylko ja coś dopisałem

Twój zapis też jest średni, bo dla nieprzeliczalnego zbioru czasów tak sobie raczej nic nie zapiszesz.

[leszczu450]

Adifek, osie pomyliłem fakt, ale tego, co mówisz dalej nie kumam. Przecież cały sęk w nieprzeliczalności. Co źle zapisałem?

[Adifek]

Mówisz, że rysuje wówczas te konkertne punkty, te realizacje, otrzymuję zatem pewną rodzinę \(\displaystyle{ \left\{ X_{t_1}(\omega), X_{t_2}(\omega), \ldots , X_{t_n}(\omega) , \ldots\right\}}\).

To nie jest trajektoria procesu Wienera

[leszczu450]

Adifek, już to rozumiem. Trajektorie to funkcje z \(\displaystyle{ T}\) do \(\displaystyle{ \RR}\) przyustalonej małej omedze. A to co napisałem, to zbiór wartości tej funkcji. Już wszystko jasne, dziękuję za pomoc.


Męczy mnie jeszcze jedna sprawa, Rysuję sobię tę trajektorię, dla tego konkretnego zdarzenia. Otrzymuję mega dziwny wykres i w zasadzie, co ten wykres mi mówi? A co jak narysuję to dla jeszcze innej omegi? Co to są te realizacje? Jak to intuicyjnie zrozumieć?

[Adifek]

Możesz sobie myśleć o takiej zmiennej losowej, której wartościami są funkcje, tj. \(\displaystyle{ \Omega \to (T\to \mathbb{R} )}\). W praktyce, myśląc np. o giełdzie lub jakimś procesie fizycznym, dysponujemy tylko jedną, bądź kilkoma trajektoriami. Ale to np. pozwala już estymować pewne parametry procesu. Często nie umiemy rozwiązać np. stochastycznych równań różniczkowych, a jedynie symulować trajektorie. Wtedy, generując ich bardzo dużo, można wyznaczyć jakiś przybliżony rozkład procesu itd.

Ale generalnie, to możesz o tym po części myśleć jak o realizacji zmiennej losowej, tylko takiej bardziej skomplikowanej. Jeśli masz jedną realizację zmiennej o rozkładzie normalnym, to co ona Ci mówi? Coś mówi, ale niezbyt wiele Procesy są bardziej złożone i badając trajektorie jednak można często wyprowadzić jakieś własności procesu.

[leszczu450]

Adifek, a czemu zatem odpowiada zdarzenie losowe w takim razie? \(\displaystyle{ t}\) to czas, \(\displaystyle{ X_t (\omega)}\) to pewna wartośc liczbowa, np. cena akcji w danej chwili \(\displaystyle{ t}\). A czym jest ta omega?

[Adifek]

Pytanie świadczy o braku zrozumienia teorii prawdopodobieństwa. \(\displaystyle{ \Omega}\), czyli zbiór zdarzeń elementarnych zwykle nie zostaje sprecyzowana i pozostaje abstrakcyjna. O ile w rzucaniu kostką możesz jeszcze pokusić się o wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych i ich zrozumienie, tak w ogólności trudno o jakąkolwiek sensowną interpretację.

Podam przykład. Weź sobie dowolną zmienną o rozkładzie normalnym. Co wg Ciebie oznacza zdarzenie elementarne \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\)? Ja nie wiem.

Można by się pokusić o stwierdzenie, że to oznacza, że zmienna przyjęła konkretną wartość. Ale przecież cała masa tych zdarzeń prawie na pewno nie zachodzi. Jestem w stanie opisać zdarzenia nieelementarne, np. zmienna przyjęła wartości z jakiegoś przedziału.

Ale tutaj dochodzimy do rozkładu zmiennej. Rozkład jest taką właśnie interpretacją i jej się używa. Ale zauważ, że \(\displaystyle{ \Omega}\) nigdy nie jest opisana. To jest jakieś coś. Tam są pewne potworki, ale Ty je znasz tylko przez jakieś odwzorowanie na liczby rzeczywiste.

Po to powstało pojęcie zmiennej losowej i jej rozkładu. By uciec od absolutnie niezrozumiałej dla nas przestrzeni. Prawdopodobieństwo jest niezrozumiałe. Zauważ, że badamy je wyłącznie przez funkcje deterministyczne - dystrybuanta, gęstość. Każda pojedyncza trajektoria też jest deterministyczna. Dopiero na zbiorze takich trajektorii jest pewien rozkład, ale my i tak sobie myślimy o tym na zasadzie "o, dużo wykresów jest takich a takich, mało jakichś innych" i w ten sposób myślimy o tym rozkładzie.

Popatrz na to też z innej strony. Przy WWO wiele dowodów robi się za pomocą indukcji pozaskończonej. Jej dowód jest oczywiście czysto teoriomnogościowy, w pełni abstrakcyjny i tylko sama jej idea jest dość prosta. Robimy więc taki dowód dla WWO i co? I zaczynamy od funkcji prostych. Później się przechodzi przez mocne twierdzenia, np. Lebesgue'a. Nie lubimy myśleć o trudnych rzeczach. Robimy wszystko na prostych, regularnych obiektach, a później korzystamy z wytrychów w postaci jakichś twierdzeń. I tak się dzieje w całej teorii prawdopodobieństwa.

tym większy szacunek ma się dla ludzi którzy to robili. O ile jeszcze twierdzenia Lebesgue'a są dość intuicyjne, zwłaszcza w przypadku miary Lebesgue'a, gdzie "widać z wykresu", że tak musi być, tak taki Kołmogorow był jakimś totalnym psycholem i czasami gdy widzę jakiś jego wynik, nie jestem w stanie pojąć jak takie coś można było w ogóle zobaczyć, a co dopiero dowieść i zbudować całą teorię.

[leszczu450]

Adifek, dziękuję za obszerną odpowiedź, ale nie wiem, dlaczego zarzucasz mi brak zrozumienia rachunku prawdopodobieństwa. Czy to naprawdę aż taka wielka ignorancja z mojej strony, że nie wiem jak interpretować \(\displaystyle{ \omega}\) w tym przypadku związanym z giełdą?

[Adifek]

No więc interpretacja byłaby taka: w przedziale czasowym \(\displaystyle{ T}\) cena akcji będzie zadana trajektorią zadaną przez tę \(\displaystyle{ \omega}\).

Niby fajnie. Ale dla procesu Wienera takie zdarzenie, choć nie jest niemożliwe, to nie zajdzie z prawdopodobieństwem jeden. Takie trochę dziwne, nie?

Dlatego polegamy na zdarzeniach, a o zdarzeniach elementarnych raczej się nie wypowiadamy.

[leszczu450]

Niby fajnie. Ale dla procesu Wienera takie zdarzenie, choć nie jest niemożliwe, to nie zajdzie z prawdopodobieństwem jeden. Takie trochę dziwne, nie?

Teto nie rozumiem. Co masz dokładnie na myśli?

[Adifek]

Dokładnie to, co napisałem. Jeśli wybierzemy sobie sobie jakąś \(\displaystyle{ \omega}\), to \(\displaystyle{ P(\{ \omega \} ) = 0}\).

[leszczu450]

Adifek, ale jak to się ma do tego, o czym rozmawiamy? : )