Chciałbym prosić o pomoc. Mam do rozwiązania zadanie tym razem ze statystyki matematycznej.
Proszę o sprawdzenie czy dobrze rozwiązałem podpunkt a. Jeżeli tak, to przejdę do podpunktu b i zamieszczę dalszy ciąg.
Bardzo dziękuję.
Zadanie 1.
\(\displaystyle{ \hrulefill}\)
a) Dla danego n, dla jakiej wartości parametru a, funkcja \(\displaystyle{ y=a x^{n}}\) może być gęstością prawdopodobieństwa (GP) w przedziale [0,1], pewnej zmiennej losowej X?
\(\displaystyle{ \hrulefill}\)
Rozwiązanie
Korzystam z własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
(1) \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx=1}\)
(2) \(\displaystyle{ f(x)=a x^{n}}\)
(3) \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}a x^{n}dx=1}\)
Obliczam lewą stronę równania:
(4) \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}a x^{n}dx=a \int_{0}^{1} x^{n}dx=a( \frac{1}{n+1} 1^{n+1}-\frac{1}{n+1} 0^{n+1})=a( \frac{ 1^{n+1} }{n+1}- \frac{0 ^{n+1} }{n+1})}\)
(5) \(\displaystyle{ a \cdot \frac{ 1^{n+1} }{n+1}= \frac{a( 1^{n+1} )}{n+1}}\)
Podstawiam do równania:
(5) \(\displaystyle{ \frac{a( 1^{n+1} )}{n+1} =1}\)
(6) \(\displaystyle{ a( 1^{n+1})=n+1}\)
(7) \(\displaystyle{ a= \frac{n+1}{1^{n+1} }=n+1}\)
\(\displaystyle{ \hrulefill}\)
b) Przedstawić wykres GP.
\(\displaystyle{ \hrulefill}\)
c) Za pomocą otrzymanej GP dla n=2 obliczyć parametr opisowy m.
\(\displaystyle{ \hrulefill}\)
n=2
a=n+1
\(\displaystyle{ f(x)=(n+1) x^{2}=(2+1)x^{2}=3 x^{2}}\)
***
\(\displaystyle{ m_{r} = \int_{a}^{b} x ^{r} f(x)dx}\)
Wartość oczekiwana (średnia) - \(\displaystyle{ m_{1}}\)
r=1
\(\displaystyle{ m_{1}= \int_{a}^{b} x ^{r} f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ m_{1}= \int_{0}^{1} x ^{1} f(x)dx= \int_{0}^{1} x \cdot 3 x^{2} dx=3 \int_{0}^{1} x^{3}dx}\)
\(\displaystyle{ m_{1}=3( \frac{ 1^{3+1} }{3+1}- \frac{ 0^{3+1} }{3+1}=3 \cdot ( \frac{ 1^{4} }{4} )}\)
\(\displaystyle{ m_{1}=3 \cdot \frac{1}{4}= \frac{3}{4}=0,75}\)
wariancja \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\)
r=2
\(\displaystyle{ m_{2}= \int_{a}^{b} x ^{2} f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ m_{2}= \int_{0}^{1} x^{2}f(x)dx= \int_{0}^{1} x ^{2} \cdot 3 x^{2}dx= \int_{0}^{1}3 x^{4}dx}\)
\(\displaystyle{ m_{2}=3( \frac{ 1^{4+1} }{4+1}- \frac{ 0^{4+1} }{4+1})=3( \frac{1 ^{5} }{5}- \frac{ 0^{5} }{5})}\)
\(\displaystyle{ m_{2}= 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}=0,6}\)
\(\displaystyle{ \sigma^{2}=m_{2}- m_{1}^{2}=0,6- 0,75^{2}=0,0375}\)
odchylenie standardowe
\(\displaystyle{ \sigma= \sqrt{0,0375} \approx 0,19}\)
\(\displaystyle{ \hrulefill}\)
d) Za pomocą otrzymanej GP dla n=2 obliczyć prawdopodobieństwo P(A) zdarzenia losowego \(\displaystyle{ A=[0, \frac{1}{2}]}\) oraz przedstawić P(A) na wykresie GP.
\(\displaystyle{ \hrulefill}\)
Gęstość prawdopodobieństwa
-
szw1710
Gęstość prawdopodobieństwa
No właśnie. Oczywiście takie \(\displaystyle{ a}\) wymusza już nieujemność funkcji, więc istnieje zmienna losowa o takiej funkcji gęstości.
-
merowing3
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 9 sty 2011, o 16:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 9 razy
Gęstość prawdopodobieństwa
Obliczyłem podpunkt c. Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności. Jeżeli jest ok przejdę do podpunktu d, jeżeli nie, to poprawię. Dzięki.