Wiadomo, że błąd pomiaru pewnego przyrządu ma rozkład normalny N(0, σ) i z prawd. 0,95 nie wychodzi poza przedział (−1, 1). Dokonanych zostanie i) 10, ii) 100 niezależnych pomiarów tym przyrządem. Oblicz prawd. zdarzenia, że wariancja z próby będzie
a) między 0,2 a 0,3,
b) większa od 0,28.
statystyka matematyczna
-
szw1710
statystyka matematyczna
Dane zadania pozwalają na wyliczenie \(\displaystyle{ \sigma}\). Masz \(\displaystyle{ P(-1<X<1)=0.95}\), więc po standaryzacji \(\displaystyle{ P\left(\frac{-1}{\sigma}<\frac{X}{\sigma}<\frac{1}{\sigma}\right)=0.95}\) i liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma}}\) można odczytać z tabic rozgładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Po obliczeniach będziemy mieć \(\displaystyle{ 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma}\right)-1=0.95}\), skąd \(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{1}{\sigma}\right)=0.975}\) i z łatwością odczytujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma}}\) z tablic dystrybuanty \(\displaystyle{ \Phi}\) rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1).}\) Mamy więc \(\displaystyle{ \sigma}\).
Do zrobienia zadania trzeba jedynie wiedzieć, że statystyka \(\displaystyle{ \chi^2=\frac{ns^2}{\sigma^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ s^2}\) to wariancja z próby o liczebności \(\displaystyle{ n}\), ma rozkład chi-kwadrat z \(\displaystyle{ n-1}\) stopniami swobody. Przelicz przedział na \(\displaystyle{ s^2}\) na tę statystykę i policz odpowiednie prawdopodobieństwo używając tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat przy \(\displaystyle{ n=10}\). Przy \(\displaystyle{ n=100}\) trzeba użyć statystyki \(\displaystyle{ \sqrt{2\chi^2}-\sqrt{2n-3}}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,1)}\) i ponownie użyć dystrybuanty tego rozkładu.
Do zrobienia zadania trzeba jedynie wiedzieć, że statystyka \(\displaystyle{ \chi^2=\frac{ns^2}{\sigma^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ s^2}\) to wariancja z próby o liczebności \(\displaystyle{ n}\), ma rozkład chi-kwadrat z \(\displaystyle{ n-1}\) stopniami swobody. Przelicz przedział na \(\displaystyle{ s^2}\) na tę statystykę i policz odpowiednie prawdopodobieństwo używając tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat przy \(\displaystyle{ n=10}\). Przy \(\displaystyle{ n=100}\) trzeba użyć statystyki \(\displaystyle{ \sqrt{2\chi^2}-\sqrt{2n-3}}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,1)}\) i ponownie użyć dystrybuanty tego rozkładu.