Rozkład wykładniczy i rozkład Weibulla

[leszczu450]

Cześć !

Proste zadanie, a jednak nie mogę skończyć.

Wykazać, że jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy \(\displaystyle{ \mathcal{E}(\lambda)}\), to zmienna losowa \(\displaystyle{ Y=X^{1/\alpha}}\) ma rozkład Weibulla \(\displaystyle{ \mathcal{W}e(\alpha, {\lambda}^{-1/ \alpha} )}\).

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ F_Y(t)=P(Y<t)=P(X^{1/ \alpha}<t)= P(X< t^{\alpha})= F_X(t^{\alpha})= 1-e^{-\lambda t^{\alpha}}}\)

Teraz, jak wygląda dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie Weibulla z parametrami takimi jak w zadaniu. Wygląda tak:

\(\displaystyle{ 1- e^{- (t/ \alpha)^{{\lambda}^{-1/ \alpha}}}}\)

I jakoś nie potrafię pokazać równości tych obu dystrybuant...

Z góry dziękuję za pomoc.

[janusz47]

\(\displaystyle{ F_{Y}(t)= 1- e^{-(\lambda t)^{\alpha}}, t\geq 0.}\)
Jest to rozkład Weibulla dla pewnych wartości \(\displaystyle{ \lambda >0, \alpha >0.}\)

[leszczu450]

janusz47, i? Nie widzę powiązania z moimi obliczeniami.

[janusz47]

Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ \alpha=1}\) otrzymujemy rozkład wykładniczy.

[leszczu450]

janusz47, nie rozumiem Ciebie. Poza tym Twoje obliczenia nie są poprawne. Tak nie wygląda dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ Y}\).

[luka52]

leszczu450 chyba parametry Ci się na początku pomyliły i stąd podałeś zły wzór, do którego chciałeś dojść.

[leszczu450]

luka52, nie nie. Nic mi się nie pomyliło. Tak mam napisane w zadaniu. Chyba, że to błąd.

\(\displaystyle{ \mathcal{W}e(\alpha, {\lambda}^{-1/ \alpha} )}\)

Tak jest napisane.

[luka52]

Nie mówię, że błąd jest w \(\displaystyle{ \mathcal{W}e(\alpha, {\lambda}^{-1/ \alpha} )}\), tylko tu:

\(\displaystyle{ 1- e^{- (t/ \alpha)^{{\lambda}^{-1/ \alpha}}}}\)

[leszczu450]

luka52, i gdzie tu jest błąd ?

[luka52]

... n_function \(\displaystyle{ k \leftrightarrow \alpha, \lambda \leftrightarrow \lambda^{-1/\alpha}}\)

[leszczu450]

luka52, bez sensu. A kilka linijek wyżej w oznaczeniu gęstości podają inną kolejność parametrów. Ale już widzę, gdzie jest błąd. Dzięki za pomoc : )

[Krzysiek_140]

Cześć. Moglibyście zamieścić poprawne rozwiązanie zagadnienia?