Rozkład zmiennej losowej jest opisany za pomocą funkcji gęstości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ \ x \in R^{-} \\ e^{-x} \ \ x \in R_{0}^{-} \end{cases}}\)
Wyznacz wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej.
Jak to obliczyć?
Wyznacz wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 14:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wielkopolskie
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Wyznacz wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej
Aby to byłą gęstość, to w drugim warunku powinno być raczej \(\displaystyle{ x\in\RR_+}\).
Wtedy wartość oczekiwana będzie wynosić
\(\displaystyle{ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x}dx=
\int_{0}^{\infty}xe^{-x}dx=\lim_{a\to\infty}\int_{0}^{a}xe^{-x}dx=(\star)}\)
\(\displaystyle{ \int xe^{-x}dx=\left|\begin{array}{cc}
u=x&v'=e^{-x}\\ u'=1&v=-e^{-x}\end{array}\right|=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=
-xe^{-x}-e^{-x}=e^{-x}(-x-1)}\)
\(\displaystyle{ (\star)=\lim_{a\to\infty}e^{-x}(-x-1)\Big|_0^a=
\lim_{a\to\infty}[(e^{-a}(-a-1)-e^0(-0-1)]=
\lim_{a\to\infty}\left[1-\underbrace{\frac{a+1}{e^a}}_{\to0}\right]=1}\)
Wtedy wartość oczekiwana będzie wynosić
\(\displaystyle{ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x}dx=
\int_{0}^{\infty}xe^{-x}dx=\lim_{a\to\infty}\int_{0}^{a}xe^{-x}dx=(\star)}\)
\(\displaystyle{ \int xe^{-x}dx=\left|\begin{array}{cc}
u=x&v'=e^{-x}\\ u'=1&v=-e^{-x}\end{array}\right|=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=
-xe^{-x}-e^{-x}=e^{-x}(-x-1)}\)
\(\displaystyle{ (\star)=\lim_{a\to\infty}e^{-x}(-x-1)\Big|_0^a=
\lim_{a\to\infty}[(e^{-a}(-a-1)-e^0(-0-1)]=
\lim_{a\to\infty}\left[1-\underbrace{\frac{a+1}{e^a}}_{\to0}\right]=1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 14:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wielkopolskie