Estymator obciążony

[akermann1]

Witam mam następujące zadanie:

Niech \(\displaystyle{ X_n=[X_1,X_2,...,X_n]}\) będzie próbą pochodzącą z rozkładu o nieznanej wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \mu}\). Za estymator przyjmijmy:

\(\displaystyle{ X_n= \frac{1}{n-2} \sum_{k=1}^{n} X_k}\)

Pokazać, że ten estymator jest obciążony. Sprawdzić czy jest asymptotycznie obciążony. Zmodyfikować \(\displaystyle{ X_n}\) tak by był nieobciążony...

Nie wiem trochę jak to zacząć ale pokażę, co sam wymyśliłem...

\(\displaystyle{ EX=\mu}\) - nieznane \(\displaystyle{ VarX=\sigma^2}\) - znane?

\(\displaystyle{ X_n= \frac{1}{n-2} \sum_{k=1}^{n} Var[X_k] = \frac{1}{n-2} \cdot n \cdot \mu \neq \mu}\)

Proszę o pomoc...

[Adifek]

Nie wiem, po co angażujesz wariancję do sprawdzania nieobciążoności. Zwłaszcza, że nie wiesz, czy zmienne mają skończoną wariancję

Poza tym raz piszesz, że ta wariancja to \(\displaystyle{ \sigma^2}\) a raz że \(\displaystyle{ \mu}\). Więc jak to jest?

[akermann1]

Bo właśnie nie wiem do końca jak to zrobić bo wiem, że sprawdzenie nieobciążeniości polega na wyliczeniu \(\displaystyle{ EX}\)

[Adifek]

No to policz tę wartość oczekiwaną

[womich]

\(\displaystyle{ X_{n}}\) to wektor, n-ta obserwacja czy estymator?

Jeżeli masz estymator pewnego parametru to musisz sprawdzić czy wartość oczekiwana tego estymatora jest równa temu parametrowi.
W Twoim przypadku chodzi chyba o estymowanie średniej, więc wystarczy skorzystać z elementarnych własności wartości oczekiwanej.

Różnica pomiędzy wartością oczekiwaną estymatora, a parametrem, który estymujemy to obciążenie estymatora.
Jeżeli obciążenie w granicy daje 0 to estymator jest asymptotycznie nieobciążony.

[akermann1]

\(\displaystyle{ E [ \frac{1}{n-2} \sum_{k=1}^{n} X_k] = \frac{1}{n-2} \sum_{k=1}^{n} E[X_k] = \frac{n}{n-2} \cdot E[X_k]}\) coś takiego? Bo dalej nie wiem co zrobić...-- 8 lut 2015, o 17:33 --womich, to estymator

[womich]

Gdyby zachodziło \(\displaystyle{ E[\hat{\mu}] = \mu}\).

Czyli w naszej sytuacji gdybyśmy pomnożyli nasz estymator przez \(\displaystyle{ \frac{n-2}{n}}\).

[akermann1]

Ok a kiedy byłby nieobciążony?

@EDIT

I jeszcze pytanie dlaczego wartość \(\displaystyle{ \mu}\) ?? Bo jest nieznana? Jeżeli natomiast liczyłbym z tego \(\displaystyle{ Var}\) to sprawdziłbym czy estmator jest najefektywniejszy?

[womich]

Coś musimy estymować. To powinno być dane w zadaniu.

O jaki "algorytm" jest pytanie?
Efektywność estymatora badamy przy pomocy wariancji i informacji Fishera.
Jeżeli pytasz o to w jakim stopniu będzie on dobry to odpowiedź jest prosta - im mniejsza wariancja tym lepszy(bo mniejsze odchylenie).

[akermann1]

Rozumiem a ostatnie pytanie czy mógłbyś mi jeszcze podać tylko przykład estymatora który jest :

a) Obciążony ale asymptotycznie nieobciążony?
b) Nieobciążony ale asymptotycznie obciążony?

I to będzie na tyle moich pytań i przepraszam za kłopot

[womich]

a) to właśnie ten Twój estymator pokazaliśmy, że jest obciążony, natomiast

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (E[\hat{\mu}] - \mu) = \lim_{n \to \infty}( \frac{n}{n-2} \cdot \mu - \mu) = 0}\)

b) to jest niemożliwe, ponieważ nieobciążony ma obciążenie równe 0 czyli niemożliwe żeby nie zbiegało do zera (czyli każdy estymator nieobciążony jest asymptotycznie nieobciążony)