Witam! Mam zadanie: Na podstawie próby losowej \(\displaystyle{ X _{1}...X_{n}}\) z rozkładu wykładniczego o gęstości \(\displaystyle{ \theta \cdot e^{-x \cdot \theta}}\) wyznaczyć najkrótszy przedział ufności dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\).
Mam rozwiązanie ale nie rozumiem jednej kwestii, jest tam zapisane:
Wiadomo, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X _{i}}\) ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ \frac{\theta^{n} }{\Gamma(n)} \cdot u^{n-1} \cdot e ^{-u\theta}}\) (rozkład Gamma z parametrami n oraz \(\displaystyle{ \theta}\))
No i właśnie nie rozumiem za bardzo skąd taki rozkład ma ta suma. Początkowa funkacja gęstości \(\displaystyle{ \left( \theta \cdot e^{-x \cdot \theta}\right)}\) wg mnie ma rozkład \(\displaystyle{ E \left( \frac{1}{\theta}\right)}\). Więc suma zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym powinna mieć rozkład Gamma - \(\displaystyle{ G\left( n, \frac{1}{\theta} \right)}\). Mógłby mi ktoś powiedzieć czy dobrze myślę?
przedział ufności - wyjasnienie niejasnosci
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 2 paź 2013, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warsaw
- Podziękował: 42 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
przedział ufności - wyjasnienie niejasnosci
Po prostu są dwie konwencje zapisywania parametrów w rozkładzie wykładniczym i gamma: Raz się podaje intensywność, a raz średnią. Nie wiem skąd te rozbieżności się wzięły, ale zawsze trzeba na to uważać.
-
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 2 paź 2013, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warsaw
- Podziękował: 42 razy
przedział ufności - wyjasnienie niejasnosci
No dobrze ale jaka będzie w tym momencie funkcja centralna?
Gdyby to był rozkład \(\displaystyle{ G\left( n, \theta \right)}\) to może być: \(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}X _{i}}{ \theta}}\) bo będzie to miało rozklad \(\displaystyle{ G\left( n,1 \right)}\), niezależne od parametru (dobrze?)
A w przypadku \(\displaystyle{ G\left( n, \frac{1}{\theta} \right)}\) jak będzie?
Gdyby to był rozkład \(\displaystyle{ G\left( n, \theta \right)}\) to może być: \(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}X _{i}}{ \theta}}\) bo będzie to miało rozklad \(\displaystyle{ G\left( n,1 \right)}\), niezależne od parametru (dobrze?)
A w przypadku \(\displaystyle{ G\left( n, \frac{1}{\theta} \right)}\) jak będzie?