przedział ufności - wyjasnienie niejasnosci

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
ziomalok19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 2 paź 2013, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 42 razy

przedział ufności - wyjasnienie niejasnosci

Post autor: ziomalok19 »

Witam! Mam zadanie: Na podstawie próby losowej \(\displaystyle{ X _{1}...X_{n}}\) z rozkładu wykładniczego o gęstości \(\displaystyle{ \theta \cdot e^{-x \cdot \theta}}\) wyznaczyć najkrótszy przedział ufności dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\).
Mam rozwiązanie ale nie rozumiem jednej kwestii, jest tam zapisane:
Wiadomo, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X _{i}}\) ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ \frac{\theta^{n} }{\Gamma(n)} \cdot u^{n-1} \cdot e ^{-u\theta}}\) (rozkład Gamma z parametrami n oraz \(\displaystyle{ \theta}\))
No i właśnie nie rozumiem za bardzo skąd taki rozkład ma ta suma. Początkowa funkacja gęstości \(\displaystyle{ \left( \theta \cdot e^{-x \cdot \theta}\right)}\) wg mnie ma rozkład \(\displaystyle{ E \left( \frac{1}{\theta}\right)}\). Więc suma zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym powinna mieć rozkład Gamma - \(\displaystyle{ G\left( n, \frac{1}{\theta} \right)}\). Mógłby mi ktoś powiedzieć czy dobrze myślę?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

przedział ufności - wyjasnienie niejasnosci

Post autor: Adifek »

Po prostu są dwie konwencje zapisywania parametrów w rozkładzie wykładniczym i gamma: Raz się podaje intensywność, a raz średnią. Nie wiem skąd te rozbieżności się wzięły, ale zawsze trzeba na to uważać.
ziomalok19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 2 paź 2013, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 42 razy

przedział ufności - wyjasnienie niejasnosci

Post autor: ziomalok19 »

No dobrze ale jaka będzie w tym momencie funkcja centralna?
Gdyby to był rozkład \(\displaystyle{ G\left( n, \theta \right)}\) to może być: \(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}X _{i}}{ \theta}}\) bo będzie to miało rozklad \(\displaystyle{ G\left( n,1 \right)}\), niezależne od parametru (dobrze?)
A w przypadku \(\displaystyle{ G\left( n, \frac{1}{\theta} \right)}\) jak będzie?
ODPOWIEDZ