Estymator wariancji

[valverde12345]

Witam, czy moje rozwiązanie jest poprawne?

Zadanie: Niech \(\displaystyle{ X=( X_{1}, ..., X_{n} )}\) będzie próbą pochodzącą z rozkładu z znanym \(\displaystyle{ EX= \alpha}\) oraz nieznana Wariancja \(\displaystyle{ D^{2}}\). Za estymator wariancji przyjmijmy \(\displaystyle{ S_{n}}\). Sprawdz, czy \(\displaystyle{ S_{n}}\) jest nieobciążony, oraz czy jest nieobciążony asymptotycznie.

\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{ X_{i} }{2} - \frac{ \alpha }{2} \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ E[S_{n}]= \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n}E\left[ \left( \frac{ X_{i} }{2} - \frac{ \alpha }{2} \right) ^{2}\right]= \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n}D^{2}= \frac{D^{2}}{2} \neq D^{2}}\)
Wiec \(\displaystyle{ S_{n}}\) nie jest nieobciążony.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } E\left[ S_{n} \right]= \lim_{n \to \infty } \frac{n}{2n} * D^{2} = \frac{D^{2}}{2}}\)
Wiec \(\displaystyle{ S_{n}}\) nie jest asymptotycznie nieobciążony.

[womich]

Prawie tak, tylko trochę mieszasz. W drugim podpunkcie powinieneś badać granicę obciążenia(czyli różnicy między wartością oczekiwaną estymatora, a parametrem), czyli:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (E\left[ S_{n} \right] - D^{2}) = \frac{D^{2}}{2} - D^{2} \neq 0}\)

Niepotrzebnie tam piszesz to \(\displaystyle{ \frac{n}{2n}}\), bo przecież jak wcześniej policzyłeś \(\displaystyle{ E\left[ S_{n} \right] = \frac{D^{2}}{2}}\), ale rozumiem że przeraziła Cię granica.