Mam pokazać że \(\displaystyle{ S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum (x_{i}- \bar{x} )^{2}}\) jest nieobciążonym estymatorem \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\) jeżeli \(\displaystyle{ x_{i}}\) pochodzą z rozkładu normalnego. Znalazłem jak to się robi, ale zanim zacząłem robić to próbowałem sam, tak mniej sprytnie i mi wychodzi coś innego niż powinno i nie mogę błędu znaleźć.
\(\displaystyle{ \EE S^{2}=\frac{1}{n-1} \EE \sum(x_{i}- \bar{x})^{2}=\frac{1}{n-1}\EE(\sum x_{i}^{2}-2\bar{x}\sum x_{i}+n \bar{x}^{2})}\)
zwykłe rozpisanie kwadrata, średnia niezależna od \(\displaystyle{ i}\) więc przed sumę, no i suma \(\displaystyle{ n}\) średnich na końcu.
\(\displaystyle{ =\frac{1}{n-1}\EE(\sum x_{i}^{2}-2 n\bar{x}^{2}+n\bar{x}^{2})=
\frac{1}{n-1}(\sum \EE x_{i}^{2} - \EE n \bar{x})}\)
teraz z definicji wariancji
\(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}(\sum( \sigma ^{2}+\mu ^{2}) -n \mu^{2})=\frac{n\sigma^{2}}{n-1}}\) no a powinno wyjść \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\)...