Zadanie 1
Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2,...,X_n}\) będzie próbą z rozkładu o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \mu}\) i skończonej wariancji. Do oszacowania parametru \(\displaystyle{ \mu^{2}}\) zaproponowano estymator \(\displaystyle{ T=(\overline{X})^2}\). Wyznaczyć obciążenie tego estymatora.
Obciążenie estymatora
-
Everard
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Pomógł: 49 razy
Obciążenie estymatora
Zakładam, że \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne. Oznaczmy wariancję przez \(\displaystyle{ \sigma^2}\). Mamy:
\(\displaystyle{ ET=\frac1{n^2} E((X_1+...+X_n)^2)=\frac1{n^2} \sum_{i,j=1}^n E(X_i X_j)=\frac1{n^2} (n(\sigma^2+\mu^2) + (n^2-n) \mu^2)=\frac1n \sigma^2+\mu^2,}\)
bo
\(\displaystyle{ E(X^2)=D^2(X)+(EX)^2=\sigma^2+\mu^2.}\)
Stąd nasze obciążenie to \(\displaystyle{ \frac1n \sigma^2}\).
\(\displaystyle{ ET=\frac1{n^2} E((X_1+...+X_n)^2)=\frac1{n^2} \sum_{i,j=1}^n E(X_i X_j)=\frac1{n^2} (n(\sigma^2+\mu^2) + (n^2-n) \mu^2)=\frac1n \sigma^2+\mu^2,}\)
bo
\(\displaystyle{ E(X^2)=D^2(X)+(EX)^2=\sigma^2+\mu^2.}\)
Stąd nasze obciążenie to \(\displaystyle{ \frac1n \sigma^2}\).