Rozkład Bernouliego 3

[Kuset]

Przyjmując, że co czwarte wezwanie pogotowia jest nieuzasadnione określić prawdopodobieństwo, że na osiem wyjazdów co najmniej połowa będzie uzasadniona.

Moje założenia:
\(\displaystyle{ n= 8}\)
\(\displaystyle{ k \ge 4}\)
\(\displaystyle{ p = ?}\) - nie mam pojęcia jak to określić prawdopodobieństwo "sukcesu" w poj. próbie.

Znając p, łatwo podstawię wszystko do wzoru. Proszę o pomoc

[szw1710]

Sukces - uzasadnione wezwanie. Więc \(\displaystyle{ p=\dots}\)?

[Kuset]

Z treści zadania wiemy, że co czwarte jest nieuzasadnione. Skoro mamy 8 niezależnych prób to wnioskowałbym, że \(\displaystyle{ p = 0,5}\), ale nie wiem...

[szw1710]

Nie. Spokojnie. zastanów się trochę. Co czwarte...

[Kuset]

Hmm, zrobiłem sobie taki prosty model, gdzie:
N - zgłoszenie normalne(czyli prawidłowe)
F - zgłoszenie nieuzasadnione
Mamy 8 niezależnych zgłoszeń, gdzie co 4 jest nieuzasadnione, zatem: N,N,N,F,N,N,N,F

Z tego modelu wynika, że \(\displaystyle{ 25}\)% zgłoszeń jest nieuzasadnionych, zatem \(\displaystyle{ p = 0.25}\)?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ p}\) ok.

[Kuset]

Dziękuję, jednak ja szukam p "sukcesu" czyli uzasadnionego wezwania. Nie powinienem zrobić tak, że \(\displaystyle{ p = 1 - 0.25 = 0.75}\) i dopiero teraz podstawiać do wzoru?

[miodzio1988]

Masz w pełni racje

[Kuset]

Ooookej, zatem:

\(\displaystyle{ X~B(8;0.75)}\)
\(\displaystyle{ n = 8}\)
\(\displaystyle{ k \ge 4}\)
\(\displaystyle{ p = 0.75}\)

\(\displaystyle{ P(X \ge 4) = P(X=4) +P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = {8 \choose 4} \cdot 0.75 ^{4} \cdot 0.25 ^{4} + {8 \choose 5} \cdot 0.75 ^{5} \cdot 0.25 ^{3} + {8 \choose 6} \cdot 0.75 ^{6} \cdot 0.25 ^{2} + {8 \choose 7} \cdot 0.75 ^{7} \cdot 0.25 ^{1} + {8 \choose 8} \cdot 0.75 ^{8} \cdot 0.25 ^{0} =0.086517334 + 0.207641602 + 0.311462402 + 0.266967773 + 0.100112915 = 0.972702026}\)
Czy to jest dobra odpowiedź?
Czy można było to zadanie rozwiązać szybciej?