Metoda najmniejszych kwadratów.

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
jakpiotr5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 sty 2015, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Metoda najmniejszych kwadratów.

Post autor: jakpiotr5 »

Witam serdecznie.
Muszę rozwiązać następujące zadanie:

Zmierzono wartość przewodnictwa właściwego L pewnego półprzewodnika dla dziesięciu wartości temperatury \(\displaystyle{ T}\).
Przewodnictwo zmienia się wykładniczo:
\(\displaystyle{ L= L_o \cdot \exp \left( -\frac{T_o}{T}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ L_o}\) i \(\displaystyle{ T_o}\) to nieznane stałe.

Po zlogarytmowaniu wzoru dostajemy zależność linową logarytmu przewodnictwa od odwrotności temperatury:
\(\displaystyle{ \ln \left( L \right) = \ln \left( L_o \right) - T_o \cdot \left( \frac 1T \right)}\).

Znaleźć metodą najmniejszych kwadratów parametry \(\displaystyle{ \ln \left( L_o \right)}\) i \(\displaystyle{ T_o}\) tej prostej zakładając, że temperatura mierzona jest z zaniedbywalnie mała niepewnością, a przewodnictwo wyznaczane jest ze stałą względną niepewnością standardową równą \(\displaystyle{ 3\%}\).

Dane do zadnia (nie wypisuje wszystkich):
\(\displaystyle{ T_1=250, L_1=2000\\
T_2=300, L_2=4000\\
T_3=305, L_3=4400}\)

itd...

I teraz muszę wyliczyć te współczynniki \(\displaystyle{ L_o}\) i \(\displaystyle{ T_o}\), tylko pytanie jak?
Stosowałem następujące wzory lecz wyniki wychodzą idiotyczne, a mianowicie \(\displaystyle{ T_o=-4000}\) i \(\displaystyle{ L_o=20}\)...
\(\displaystyle{ W= n \sum_{i}T_i ^{2} - \left( \sum_{i}T_i \right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ T_n \left( T_o \right) =\frac{n \left( \sum_{i}T_i \cdot Y_i \right) - \left( \sum_{i}T_i \right) \left( \sum_{i}L_i \right) }{W}}\)

\(\displaystyle{ T_n \left( L_o \right) =\frac{ \left( \sum_{i}T_i^{2} \right) \left( \sum_{i}L_i \right) - \left( \sum_{i}T_i \right) \left( \sum_{i}T_i \cdot Y_i \right) }{W}}\)
Podstawiając te obliczone wartości do podanego w treści zadania wzoru i wstawiając przykładową wartość np. \(\displaystyle{ T_1=250}\) wyniki \(\displaystyle{ L_1}\) wychodzi olbrzymi...
Gdzie popełniam jakiś błąd?
Ostatnio zmieniony 5 sty 2015, o 00:35 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Dolny indeks to T_i. Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex]
miodzio1988

Metoda najmniejszych kwadratów.

Post autor: miodzio1988 »

Szukaj funkcji liniowej, masz taką postać
jakpiotr5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 sty 2015, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Metoda najmniejszych kwadratów.

Post autor: jakpiotr5 »

W jaki sposób mam to zrobić?
Może to głupie pytanie ale to zadanie z którym się zmagam od kilku dni to taka "odskocznia" od codzienności i nie za bardzo wiem co z tym zrobić...
miodzio1988

Metoda najmniejszych kwadratów.

Post autor: miodzio1988 »

Np te wartości wstawić i policzyć tak aby mieć dane do funkcji liniowej
jakpiotr5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 sty 2015, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Metoda najmniejszych kwadratów.

Post autor: jakpiotr5 »

No to właśnie powstawiałem te wartości do tych wzorów na \(\displaystyle{ Tn(T_0)}\), \(\displaystyle{ Tn(L_0)}\) i \(\displaystyle{ W}\), przy czym wstawiałem za \(\displaystyle{ T}\) wartości \(\displaystyle{ \frac{1}{T}}\), a za \(\displaystyle{ L}\) \(\displaystyle{ \ln(L)}\).
I wyszło \(\displaystyle{ Tn(T_0)=-4000}\), a \(\displaystyle{ Tn(L_0)=20}\).
O to Ci chodzi?

A wstawiając wartości nieprzeliczone wychodzi w ogóle kompletny kosmos Już to liczyłem na wszystkie możliwe (chyba sposoby) i wychodzi za każdym razem źle. Wychodzi \(\displaystyle{ T_0=500}\) i \(\displaystyle{ L_0=-150000}\) (i to już odpada, bo nie zlogarytmuje liczby ujemnej).
W tych wzorach zamiast T powinno być x, a zamiast L y, błędnie je przepisałem.
miodzio1988

Metoda najmniejszych kwadratów.

Post autor: miodzio1988 »

Nie wiem jak liczysz, więc nie mogę powiedzieć gdzie jest błąd. Proponuje zrobić wykres danych i narysować to co Ci wyszło z MNK, się dowiesz czy jest ok
ODPOWIEDZ