Proces urodzin i śmierci i problem punktu usługowego

[rafalrutkowski92]

Klienci zgłaszający się do punktu usługowego tworzą prosty potok sygnałów z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\). Każdego klienta obsługuje jeden z pracowników w ciągu losowego czasu, mającego rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \beta}\) . W przypadku braku wolnych pracowników klient nie czeka, lecz rezygnuje z usługi. Ilu powinno być pracowników w punkcie usługowym, aby prawdopodobieństwo odmowy obsłużenia klienta z powodu braku wolnych pracowników nie przekraczało \(\displaystyle{ 0,015}\) , jeśli \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\)?


Mój pomysł: skorzystajmy ze stacjonarności procesu urodzin i śmierci, gdzie:
\(\displaystyle{ \alpha _{n} = \alpha}\) - intensywność urodzin
\(\displaystyle{ \beta _{n} = n \cdot \beta}\) - intensywność śmierci

Załóżmy, że mamy n pracowników.

\(\displaystyle{ X _{t}}\) - ilość ludzi w punkcie w czasie t

Więc \(\displaystyle{ X _{t}}\) może przyjmować tylko wartości od 0 do n+1

Liczę prawdopodobieństwo stacjonarne \(\displaystyle{ \pi _{n+1}}\):

\(\displaystyle{ \pi _{n+1} = \frac{\alpha _{n} \cdot \alpha _{n-1} \cdot .... \cdot \alpha _{0} }{ \beta _{n+1} \cdot \beta _{n} \cdot .... \cdot \beta _{1}} \cdot \pi _{0} = \frac{1}{(n+1)!} \cdot \pi _{0}}\)

Policzmy \(\displaystyle{ \pi _{0}}\):

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n+1} \pi _{i} =1}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \pi _{0} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} }}\)

Więc:

\(\displaystyle{ \pi _{n+1} = \frac{1}{(n+1)! \cdot \sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} } \le 0,015}\)

Szukam takiego n i mam odpowiedź.
Poza tym ktoś ma pomysł jak dobrać to n tak sprytnie, bez liczenia kilku pierwszych i sprawdzania gdzie jest ok?

Myślicie, że to dobre rozumowanie?