Udowodnić, że przedział jest przedziałem ufności dla paramet

[Oleszko12]

Niech \(\displaystyle{ \left( X_1 ,X_2\right)}\) będzie dwuelementową próbą z rozkładu jednostajnego \(\displaystyle{ U\left( 0,\theta\right)}\). Udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \left( \frac{X_1 + X_2}{2- \sqrt{ \alpha } }, \frac{X_1 + X_2}{ \sqrt{\alpha} } \right)}\)

jest przedziałem ufności dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\) na poziomie istotności \(\displaystyle{ 1-\alpha}\).



\(\displaystyle{ P_\left( \theta\right)\left(\frac{X_1 + X_2}{2- \sqrt{\alpha} } \le \theta \le \frac{X_1 + X_2}{ \sqrt{\alpha} }\right) =1-\alpha}\)

\(\displaystyle{ P\left( \frac{ \sqrt{\alpha} }{\theta} \le X_1 +X_2 \le \frac{2-\sqrt{\alpha}} {\theta} \right)=1-\alpha}\)

Co z tym dalej mam robić?

[Adifek]

Przyrównywanie od razu do \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) jest słabym pomysłem. To ma wyjść z rachunków.

Podpowiem, że \(\displaystyle{ X_1 + X_2}\) mają rozkład trójkątny o gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{x}{\theta^2}, \ x \in [0,\theta ] \\ \frac{2}{\theta} -\frac{x}{\theta^2}, \ x \in [\theta, 2\theta ] \end{cases}}\) (a przynajmniej tak to na oko wygląda ). Pozostaje policzyć całkę i voila.

[tajner]

A skąd wiadomo, że mają taki rozkład? Dlaczego liczymy tu całkę, skąd taki pomysł. Czy nie trzeba z jakiegoś twierdzenia tu skorzystać?