Ilość przecięć N odcinków

[Borneq]

Pierwsze doświadczenie: mamy prostokąt wymiaru n razy m. Wybieramy odcinek przez losowanie jego obu końców. Ile przecięć będzie miało np. 1000 odcinków?
Drugi sposób z parametryzowaniem ilości przecięć. A więc - wybieramy pierwszy punkt odcinka, oraz dla jego zadanej długości losujemy kąt z przedziału \(\displaystyle{ <0..2\pi>}\) Taki odcinek może jednostronnie wychodzić poza obrys, więc albo go przycinamy tracąc tą samą długość, albo równolegle przesuwamy w kierunku pierwszego punktu tracąc pierwotnie wylosowaną pozycję.
Jak wyliczyć, ile będzie przecięć w takim wypadku?
Interesujący jest zwłaszcza wzór odwrotny, dla ilości odcinków n i ilości przecięć k dający długość odcinka

-- 12 gru 2014, o 07:38 --

Pierwsze doświadczenie: mamy prostokąt wymiaru n razy m. Wybieramy odcinek przez losowanie jego obu końców.

Doświadczalnie wyszło mi ... \(\displaystyle{ \frac{n^2}{ \pi \cdot e}}\) (gdzie n to ilość odcinków)
Ciekawe jak by wyprowadzić ten wzór i ile wyjdzie dla ustalonej długości.

[Adifek]

Doświadczalnie wyszło mi ... \(\displaystyle{ \frac{n^2}{ \pi \cdot e}}\) (gdzie n to ilość odcinków)
Ciekawe jak by wyprowadzić ten wzór i ile wyjdzie dla ustalonej długości.

Co jest bzdurą, bo to musi być zmienna losowa.

[a4karo]

Co jest bzdurą, bo to musi być zmienna losowa.

Ostro oceniłes. Na mój gust ta odpowiedź to wartośc oczekiwana tejże zmiennej. (takie coś się zwykle na drodze eksperymentu dostaje)


mam jednak pewne watpliwości: po pierwsze, nic to nie zależy od długości odcinka. O ile w pierwszy przypadku wydaje się to byc nieistotne, to w drugim już zdecydowanie tak. Tak samo jak w drugim rozmiary prostokata będa miały wpływ na wynik

[Adifek]

Co jest bzdurą, bo to musi być zmienna losowa.

Ostro oceniłes. Na mój gust ta odpowiedź to wartośc oczekiwana tejże zmiennej. (takie coś się zwykle na drodze eksperymentu dostaje)

mam jednak pewne watpliwości: po pierwsze, nic to nie zależy od długości odcinka. O ile w pierwszy przypadku wydaje się to byc nieistotne, to w drugim już zdecydowanie tak. Tak samo jak w drugim rozmiary prostokata będa miały wpływ na wynik

Ciekawe jaki eksperyment daje nam \(\displaystyle{ e}\) lub \(\displaystyle{ \pi}\). Zawsze wydawało mi się, że ich empiryczne przybliżenia wynikają ze wzorów teoretycznych, których jak widać tutaj nie ma.

Co więcej: byłby to naprawdę ciekawy przypadek, że wartość oczekiwana nie zależy od rozmiarów prostokąta (choć to jeszcze jest do uwierzenia), ale także od rozkładu (autor nie doprecyzował JAK losujemy...).

[a4karo]

Adifek,
jasne, że opis eksperymentu wymaga dopracowania. Autor nie opisał szczegółów, postawił hipotezę i tyle...
Ty zaś zająłeś się, niestety, wykpieniem pomysłu. Zamiast krytykować spróbuj cos konstruktywnie doradzić.

Poczytaj sobie o igle Buffona, to zobaczysz jakie eksperymenty dają \(\displaystyle{ \pi}\). Spróbuj powkładać losowo listy do kopert, to zobaczysz jakie eksperymenty dają \(\displaystyle{ e}\)

[Adifek]

a4karo, nie musisz mnie uczyć o igle Buffona. Sam ten eksperyment robiłem na zajęciach. Ale ta aproksymacja wynika z rachunków. Spróbuj w tym eksperymencie dostać \(\displaystyle{ \pi}\)

[a4karo]

Nie, ten wynik wyszedł z eksperymentu i został poparty rachunkami. Nie mam zamiaru dostawać żadnego wyniku, bo nie będę robił tego eksperymentu.

A co do maksymalnej liczby przecięć to chyba nie masz racji. Wynosi ona \(\displaystyle{ n(n-1)/2>n^2/(\pi e$)}\)

[Borneq]

Jak to można wyliczyć? Mam dwa eksperymenty w jednym losuję dwa punktu z kwadratu, drugi jest uproszczony, bez przycinania i przesuwania: losujemy jeden punkt, kąt i drugi punkt który może być wewnątrz i zewnątrz, liczymy wszystkie przecięcia, także spoza kwadratu. Wyszła mi też proporcja do ilości prób w kwadracie, do kwadratu stosunku długości linii do wielkości kwadratu, ale już przeskalowaną wielkość która pozostała opisuję przybliżonym trójmianem kwadratowym.
Jak w obu wypadkach można zabrać się do wyliczenia analitycznego?

[Adifek]

Jeśli oczekujesz jakiejkolwiek pomocy, musisz określić JAK losujesz.

[a4karo]

Nie pomogę Ci. Bronię jedynie Twojego prawa do eksperymentowania i stawiania hipotez. Powodzenia.

[Borneq]

Używam losowania jednorodnego funkcją rand() w c++. Nie jest to jakaś specjalistyczna funkcja, do kryptografii się nie nadaje ale może do testów Monte-Carlo. W pierwszym doświadczeniu losuje 4 liczby używając rand() % 500. W drugim doświadczeniu podobnie losuję pierwszy punkt, oraz losuję kąt równomiernie z \(\displaystyle{ <0,..2\pi>}\)

[Adifek]

To w czym to piszesz jest informacją nieistotną.

Chodzi mi o to JAK losujesz punkty: czy jednostajnie z wnętrza kwadratu, czy jednostajnie z jego brzegu, czy może jeszcze jakoś inaczej.

Odnoszę wrażenie, że w Twoich postach pytasz o rzeczy, których ewidentnie nie rozumiesz, a mimo to próbujesz je robić. Może warto zmienić strategię i najpierw dowiadywać się o co chodzi, a dopiero później to robić?

[Borneq]

Pisałem że jednorodnie z wnętrza; gdy kwadrat ma wielkość 500 losuję liczby z przedziału <0..499>

[Adifek]

Pisałem że jednorodnie z wnętrza

Nie pisałeś. To, że Ty to wiesz, nie znaczy, że to napisałeś.

Pisałem że jednorodnie z wnętrza; gdy kwadrat ma wielkość 500 losuję liczby z przedziału <0..499>

Aha, czyli jednak niejednorodnie z wnętrza Tylko jednorodnie na kracie

[Borneq]

Ta krata to tylko praktyczne przybliżenie, losuję też z kwadratu 8192 na 8192, nie ma sensu używać większych np. 1e6 skoro podstawowa funkcja rand() ma tylko 32768 wartości. Ale różnice w stosunku do losowania równomiernego z wnętrza będą ułamkami procent, znacznie mniejsze niż szerokość rozkładu dla którego chcemy obliczyć maksimum. Matematycznie można założyć że losujemy liczbę z rzeczywistą z przedziału <0,1> a bok kwadratu jest = 1.