Wartość oczekiwana procesu stochastycznego

dwukwiat15 · Post autor: **dwukwiat15** » 20 lis 2014, o 23:25

Mam problem z małym obliczeniem. Mam taki prosty proces stochastyczny:

\(\displaystyle{ X_{t} = \epsilon_{t} + 0.5 \epsilon_{t-1}}\), gdzie zakładamy, że \(\displaystyle{ \epsilon_{t} \sim i.i.d(0,1)}\), czyli \(\displaystyle{ E \left( X_{t} \right) = 0}\).

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ E \left( X^{2}_{t} \right) = 1.25}\)?
Mógłby ktoś to rozpisać i tym samym pokazać dlaczego tak wychodzi?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 lis 2014, o 00:38

wlasnosc wariancji sie klania

\(\displaystyle{ Var \left(a X \right) =a^{2} Var \left( X \right)}\)

\(\displaystyle{ (0.5)^{2}=0.25}\)

dwukwiat15 · Post autor: **dwukwiat15** » 21 lis 2014, o 00:56

Twoim zdaniem wynik to 0.25? Jeżeli tak to jesteś w błędzie. Już sobie to sam policzyłem

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 lis 2014, o 12:43

Wynik to \(\displaystyle{ 1.25}\). Wariancja i drugi moment są rowne przeciez, napisalem z czego masz po drodze korzystac

dwukwiat15 · Post autor: **dwukwiat15** » 22 lis 2014, o 00:59

Zastanawiam się jak to zastosowałeś. Mi wystarczyły własnośći \(\displaystyle{ E \left[ X Y \right] = E \left[ X \right] E \left[ Y \right]}\) dla dwóch niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) no i liniowość wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ E \left[ aX + bY \right] = aE \left[ X \right] + bE \left[ Y \right]}\).

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 lis 2014, o 13:48

Pokaz swoje rozwiazanie zatem

w tym momencie juz wiem, ze nie jest poprawne

dwukwiat15 · Post autor: **dwukwiat15** » 23 lis 2014, o 18:50

Jesteś bardzo pewny w tym co mówisz.
\(\displaystyle{ E \left[ X^{2}_{t} \right]= E \left[ \left( \epsilon_{t} + 0.5 \epsilon_{t-1}\right)^{2} \right] = E\left[ \epsilon^{2}_{t} + \epsilon_{t} \epsilon_{t-1} + 0.25 \epsilon^{2}_{t-1} \right]= E \left[ \epsilon^{2}_{t} \right] + E \left[ \epsilon_{t} \epsilon_{t-1} \right] + 0.25 E \left[ \epsilon^{2}_{t-1} \right] = E \left[ \epsilon^{2}_{t} \right] + E \left[ \epsilon_{t} \right] E \left[\epsilon_{t-1} \right] + 0.25 E \left[ \epsilon^{2}_{t-1} \right] = 1 + 0*0+0.25*1 = 1.25}\)

Czy widzisz tu jakiś błąd?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 23 lis 2014, o 19:04

Wariancja i drugi moment są rowne przeciez, napisalem z czego masz po drodze korzystac

Z tego też skorzystałeś przypomnę...

No chyba, że drugi moment inaczej policzyłeś, tak czy siak wychodzi to samo, problem to?

dwukwiat15 · Post autor: **dwukwiat15** » 23 lis 2014, o 20:18

Wstawiłem tylko wartość 1 wariancji w obliczeniach bo była dana. Problemu nie ma