Obliczanie parametru C dla funkcji gęstości

[sylwia_077]

Chciałabym sprawdzić czy dobry wyszedł mi wynik, proszę kogoś o utwierdzenie mnie w przekonaniu, że dobrze obliczyłam

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ C}\) poniższa funkcja może być funkcją gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)?
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{C}{x^2}+2 & \text{dla } 1 \le x \le 2 \\ 0 & \text{dla pozostałych } \end{cases}}\)

Wyszło mi \(\displaystyle{ C=\frac{4}{3}}\)
Za bardzo nie wiedziałam jak wyjść z tej całki:
\(\displaystyle{ \int \limits_{1}^{2}\left( \frac{C}{x^2}+2\right) \, \dd x=1}\)
Czy tą dwójkę można przenieść na prawą stronę i odjąć? Czy ta dwójka dotyczy całki dx? Czy powinno być za \(\displaystyle{ \int \limits_{1}^{2}\left( \frac{C}{x^2}\right) \, \dd x+2=1}\)?

[Kacperdev]

Nie możesz sobie wyjmować jej spod całki. Stałe można wyciągać z całki tylko wtedy gdy jest przemnożona przez całe wyrażenie pod całką.

[sylwia_077]

To co zrobić z tą 2? Wiem, że można \(\displaystyle{ \frac{C}{x^2}= c \cdot x^{-2}}\)

[Kacperdev]

Można np. skorzystać z liniowości całki i rozbić ją na dwie całki.

[sylwia_077]

Mogę prosić o rozpisanie?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}\left( \frac{C}{x^2}+2\right) \dd{x} = \int_{1}^{2} \frac{C}{x^2} \dd{x} + \int_{1}^{2} 2\dd{x}}\)

[sylwia_077]

A kolejne pytanie do tego zadania, jak obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left( X>1,5\right)}\) ? Skoro mam inne przedziały i nie mam jak wytyczyć funkcji by obliczyć to prawdopodobieństwo?