Cząstka radioaktywna wpada do licznika Geigera powodując wyładowanie trwające \(\displaystyle{ T=const}\) jednostek czasu. Cząstki, które wpadły do licznika podczas wyładowania nie są rejestrowane. Załóżmy, że strumień cząstek jest opisany procesem Poissona z intensywnością \(\displaystyle{ \lambda}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu czasu \(\displaystyle{ t>0}\) licznik zarejestruje wszystkie cząstki?
Udało mi się dojść do czegoś takiego:
Niech \(\displaystyle{ X_i}\) oznacza interwał czasowy między momentem wpadnięcia \(\displaystyle{ i}\), a \(\displaystyle{ i-1}\) cząstki, a \(\displaystyle{ N(t)}\) liczbę cząstek które zostały zarejestrowane przez licznik do momentu \(\displaystyle{ t}\), wtedy:
\(\displaystyle{ P(\text{licznik zarejestruje wszystkie cząstki})=P(X_2>T, X_3>T, \ldots, X_n>T | N(t)=n)}\).
Czy to jest dobrze? Jeśli tak, to jak to dalej policzyć? Może jakieś wskazówki
Proces Poissona - cząstki radioaktywne i licznik Geigera
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Proces Poissona - cząstki radioaktywne i licznik Geigera
Źle. Zastanówmy o co chodzi.
Lecą sobie cząstki. Gdy któraś wpadnie do licznika, to jest przetwarzana przez czas \(\displaystyle{ T}\). Czyli kolejna musi być opóźniona względem poprzedniej o co najmniej \(\displaystyle{ T}\). Co więcej, ponieważ \(\displaystyle{ t>0}\) jest ustalone, możemy zarejestrować co najwyżej \(\displaystyle{ N=\left[ \frac{t}{T} \right]+1}\) cząstek (jeśli się nie pomyliłem ).
Niech \(\displaystyle{ X_i}\) będzie ciągiem czasów oczekiwania na kolejną cząstkę. Ponieważ mamy proces proces Poissona, \(\displaystyle{ X_i \sim Exp(\lambda )}\) i są niezależne.
Dlaczego Twoje jest źle? Bo 1. warunkujesz jednym ustalonym \(\displaystyle{ n}\). To można przeskoczyć robiąc sumę. 2. Zadając w ten sposób liczbę skoków (tj. procesem Poissona), nie dbasz o to, że czasy kolejnych skoków mogą być już większe od \(\displaystyle{ t}\).
Ja proponuję tak:
\(\displaystyle{ P(\text{licznik zarejestruje wszystkie cząstki}) = \\ \\ =
P(X_1 >t) + \sum_{k=1}^{N}P\left( X_1 >T, X_2>T, ... , X_k>T | \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t \right)}\)
Pierwszy składnik to trochę kwestia interpretacji. Oznacza, że w czasie \(\displaystyle{ [0,t]}\) nie było cząstek. Dla mnie oznacza to, że zarejestrowaliśmy wszystkie \(\displaystyle{ 0}\) cząstek. Jeśli chcemy, by były tam faktycznie jakieś cząstki, to tego nie rozważamy. Oczywiście \(\displaystyle{ P(X_1 >t)=e^{-\lambda t}}\).
Teraz drugi składnik. Warunek \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t}\) oznacza, że było dokładnie \(\displaystyle{ k}\) skoków w czasie \(\displaystyle{ [0,t]}\). Ponadto \(\displaystyle{ t>0}\), więc warunkujemy zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie. Stąd:
\(\displaystyle{ P\left( X_1 >T, X_2>T, ... , X_k>T | \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t \right) =
}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{ P\left( X_1 >T, X_2>T, ... , X_k>T , \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t \right) }{P\left( \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t \right)}}\)
No i obawiam się, że trzeba teraz policzyć całki wielokrotne
Lecą sobie cząstki. Gdy któraś wpadnie do licznika, to jest przetwarzana przez czas \(\displaystyle{ T}\). Czyli kolejna musi być opóźniona względem poprzedniej o co najmniej \(\displaystyle{ T}\). Co więcej, ponieważ \(\displaystyle{ t>0}\) jest ustalone, możemy zarejestrować co najwyżej \(\displaystyle{ N=\left[ \frac{t}{T} \right]+1}\) cząstek (jeśli się nie pomyliłem ).
Niech \(\displaystyle{ X_i}\) będzie ciągiem czasów oczekiwania na kolejną cząstkę. Ponieważ mamy proces proces Poissona, \(\displaystyle{ X_i \sim Exp(\lambda )}\) i są niezależne.
Dlaczego Twoje jest źle? Bo 1. warunkujesz jednym ustalonym \(\displaystyle{ n}\). To można przeskoczyć robiąc sumę. 2. Zadając w ten sposób liczbę skoków (tj. procesem Poissona), nie dbasz o to, że czasy kolejnych skoków mogą być już większe od \(\displaystyle{ t}\).
Ja proponuję tak:
\(\displaystyle{ P(\text{licznik zarejestruje wszystkie cząstki}) = \\ \\ =
P(X_1 >t) + \sum_{k=1}^{N}P\left( X_1 >T, X_2>T, ... , X_k>T | \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t \right)}\)
Pierwszy składnik to trochę kwestia interpretacji. Oznacza, że w czasie \(\displaystyle{ [0,t]}\) nie było cząstek. Dla mnie oznacza to, że zarejestrowaliśmy wszystkie \(\displaystyle{ 0}\) cząstek. Jeśli chcemy, by były tam faktycznie jakieś cząstki, to tego nie rozważamy. Oczywiście \(\displaystyle{ P(X_1 >t)=e^{-\lambda t}}\).
Teraz drugi składnik. Warunek \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t}\) oznacza, że było dokładnie \(\displaystyle{ k}\) skoków w czasie \(\displaystyle{ [0,t]}\). Ponadto \(\displaystyle{ t>0}\), więc warunkujemy zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie. Stąd:
\(\displaystyle{ P\left( X_1 >T, X_2>T, ... , X_k>T | \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t \right) =
}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{ P\left( X_1 >T, X_2>T, ... , X_k>T , \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t \right) }{P\left( \sum_{i=1}^{k}X_i \le t , \ \sum_{i=1}^{k+1}X_i > t \right)}}\)
No i obawiam się, że trzeba teraz policzyć całki wielokrotne