Strategia samofinansująca się, rynek B-S

[leszczu450]

Cześć !

Mam mały problem z udowodnieniem pewnego twierdzenia.

Następujące warunki są równoważne:

1) \(\displaystyle{ \pi \in SF}\),

2) \(\displaystyle{ X^{\pi}_{n-1}=\beta_n \cdot B_{n-1} + \gamma_n \cdot S_{n-1}}\),

3) \(\displaystyle{ X^{\pi}_{n}=X^{\pi}_{0} + \sum_{k=0}^{n}\left( \beta_k \cdot \Delta B_k + \gamma_k \cdot \Delta S_k \right)}\)


Już tłumaczę oznaczenia.

- \(\displaystyle{ SF}\)- to zbiór strategii samofinansujących się,

- \(\displaystyle{ \pi=\left( \beta, \gamma\right)}\)- to strategia(portfel) inwestora,

- \(\displaystyle{ \beta_n}\) - to ilość posiadanych obligacji w okresie \(\displaystyle{ left[ n,n+1
ight)}\) na rynku B-S,

- \(\displaystyle{ \gamma_n}\) - to ilość posiadanych akcji w okresie \(\displaystyle{ left[ n,n+1
ight)}\) na rynku B-S,

- \(\displaystyle{ X^{\pi}= \left\{ X^{\pi}_n\right\}_{0 \le n \le N}}\), gdzie \(\displaystyle{ X^{\pi}_n = \beta_n \cdot B_n + \gamma_n \cdot S_n}\),

- \(\displaystyle{ B_n}\)- to cena obligacji w okresie \(\displaystyle{ left[ n,n+1
ight)}\)

- \(\displaystyle{ S_n}\) - to cena akcji w okresie \(\displaystyle{ left[ n,n+1
ight)}\)

Ponadto procesy \(\displaystyle{ \beta= \left\{ \beta_n\right\}, \gamma= \left\{ \gamma_n\right\}}\) są \(\displaystyle{ F^S}\)- prognozowalne.

Póki co udowodniłem implikacje \(\displaystyle{ 1) \Rightarrow 2)}\). Utknąłem na implikacji \(\displaystyle{ 2) \Rightarrow 3)}\).

Proszę o wskazówkę : )

Z góry dzięki!

[bartek118]

Ta suma powinna być od \(\displaystyle{ k=1}\), wtedy jest OK. Zresztą dla \(\displaystyle{ k=0}\) te delty nie mają sensu (chyba, że jest jakiś nadany?)

\(\displaystyle{ X^{\pi}_{0} + \sum_{k=1}^{n}\left( \beta_k \cdot \Delta B_k + \gamma_k \cdot \Delta S_k \right) = X^{\pi}_{0} + \sum_{k=1}^{n}\left( \beta_k \cdot ( B_k - B_{k-1} ) + \gamma_k \cdot ( S_k - S_{k-1} ) \right) =
X^{\pi}_{0} + \sum_{k=1}^{n}\left( \beta_k \cdot B_k - \beta_k B_{k-1} + \gamma_k \cdot S_k - \gamma_k S_{k-1} \right) =
X^{\pi}_{0} + \sum_{k=1}^{n}\left( \beta_k \cdot B_k + \gamma_k \cdot S_k - \beta_k B_{k-1} - \gamma_k S_{k-1} \right) =
X^{\pi}_{0} + \sum_{k=1}^{n}\left( X^{\pi}_k - X^{\pi}_{k-1} \right)
= X^{\pi}_n}\)

[leszczu450]

bartek118, dzięki wielkie ! Teraz jeszcze zrobie \(\displaystyle{ 3) \Rightarrow 1)}\) i gotowe : )-- 1 lis 2014, o 18:03 --Robię \(\displaystyle{ 3) \Rightarrow 1)}\), ale napotykam problem na samym końcu. Oto moje rozumowanie:

\(\displaystyle{ X^{\pi}_n = X^{\pi}_0 + \sum_{k=1}^{n}\left( \beta_k \cdot \Delta B_k + \gamma_k \cdot \Delta S_k\right)= X^{\pi}_0 + \sum_{k=1}^{n}\left( \beta_k \cdot ( B_k - B_{k-1} ) + \gamma_k \cdot ( S_k - S_{k-1} ) \right) =X^{\pi}_{0} + \sum_{k=1}^{n}\left( \beta_k \cdot B_k + \gamma_k \cdot S_k - \beta_k B_{k-1} - \gamma_k S_{k-1} \right)= X^{\pi}_{0} + X^{\pi}_1 + \ldots + X^{\pi}_{n-1} + X^{\pi}_n - \\ - \sum_{k=1}^{n}\left( \beta_k \cdot B_{k-1} + \gamma_k \cdot S_{k-1}\right)}\)

Wówczas mamy:

\(\displaystyle{ X^{\pi}_{0} + X^{\pi}_1 + \ldots + X^{\pi}_{n-1}= \beta_1 B_0 + \gamma_1 S_0 + \beta_2 B_1 + \gamma_2 S_1 + \ldots + \beta_n B_{n-1} + \gamma_n S_{n-1}}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \beta_0 B_0 + \gamma_0 S_0 + \beta_1 B_1 + \gamma_1 S_1 + \ldots + \beta_{n-1} B_{n-1} + \gamma_{n-1} S_{n-1}= \beta_1 B_0 + \gamma_1 S_0 + \beta_2 B_1 + \gamma_2 S_1 + \ldots + \beta_n B_{n-1} + \gamma_n S_{n-1}}\)

Po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę mamy:

\(\displaystyle{ B_0\left( \beta_1 - \beta_0\right) + S_0\left( \gamma_1 - \gamma_0\right) + \ldots + B_{n-1}\left( \beta_n - \beta_{n-1}\right) + S_{n-1}\left( \gamma_n - \gamma_{n-1}\right)=0}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ B_0 \Delta \beta_1 + S_0 \Delta \gamma_1 + \ldots + B_{n-1}\Delta \beta_n + S_{n-1}\Delta \gamma_n =0}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ B_0, \ldots B_{n-1}, S_0, \ldots S_{n-1}}\) są nieujemne. Ale nie wiem co z tymi deltami. Jeśli też są nieujemne to mam to co chciałem. Ale jeśli nie są(a pewnie nie są) to utknąłem.

Proszę o pomoc.

[bartek118]

Otrzymałeś równość:
\(\displaystyle{ B_0 \Delta \beta_1 + S_0 \Delta \gamma_1 + \ldots + B_{n-1}\Delta \beta_n + S_{n-1}\Delta \gamma_n =0}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \{0, 1, \ldots, N \}}\). Zauważ, że dla \(\displaystyle{ n=0}\) mamy wówczas:
\(\displaystyle{ B_0 \Delta \beta_1 + S_0 \Delta \gamma_1 =0}\)
Czyli
\(\displaystyle{ B_0\left( \beta_1 - \beta_0\right) + S_0\left( \gamma_1 - \gamma_0\right) = 0 \\
B_0 \beta_1 + S_0 \gamma_1 = B_0 \beta_0 + S_0 \gamma_0 = X_0^\pi}\)
Zatem
\(\displaystyle{ X_0^\pi = B_0 \beta_1 + S_0 \gamma_1}\)
Czyli otrzymaliśmy równość w \(\displaystyle{ (2)}\) dla \(\displaystyle{ n=1}\). Jedziemy dalej: teraz weźmy \(\displaystyle{ n=1}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ B_0 \Delta \beta_1 + S_0 \Delta \gamma_1 + B_1 \Delta \beta_2 + S_1 \Delta \gamma_2 =0}\)
Dalej - jest to równoważne:
\(\displaystyle{ B_0\left( \beta_1 - \beta_0\right) + S_0\left( \gamma_1 - \gamma_0\right) + B_1\left( \beta_2 - \beta_1\right) + S_1\left( \gamma_2 - \gamma_1\right) = 0 \\}\)
Korzystając z poprzednio udowodnionej równości, mamy:
\(\displaystyle{ B_0\left( \beta_1 - \beta_0\right) + S_0\left( \gamma_1 - \gamma_0\right) = X_0^\pi - X_0^\pi = 0.}\)
Zatem
\(\displaystyle{ B_1\left( \beta_2 - \beta_1\right) + S_1\left( \gamma_2 - \gamma_1\right) = 0}\)
I tak jak poprzednio dostajemy, że \(\displaystyle{ B_1 \beta_2 + S_1 \gamma_2 = X_1^\pi}\), czyli równość w \(\displaystyle{ (2)}\) dla \(\displaystyle{ n=2}\). I formalnie - dalej robimy indukcję skończoną i już. I mamy wynikanie \(\displaystyle{ (2) \Rightarrow (3)}\).

[leszczu450]

bartek118, po pierwsze, baaardzo dziękuje ! Po drugie, to co zrobiłeś to wynikanie \(\displaystyle{ 3) \Rightarrow 2)}\) i po trzecie, ja robiłem wynikanie \(\displaystyle{ 3) \Rightarrow 1)}\). Niemniej jednak, wszystko już jest zrobione i wyjaśnione! Dzięki jeszcze raz!