Kilka zadań ze statystyki (estymacja, NW)

[PiotrowskiW]

1. Wiemy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny o nieznanej wartości oczekiwanej i znanej wariancji równej 4. Obserwujemy \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left( 2,3.5,3,7\right)}\)
Wyznaczyć różnicę między wynikiem estymacji największej wiarogodności, a wartością estymatora nieobciążonego o najmniejszej wariancji.

Pierwszą część wiem jak zrobić. Co do drugiej: chcę zastosować Nierówność Rao-Cramera, ale nie mogę pozbyć się nieznanej wartości oczekiwanej z końcowego wyniku. Czy mam do tego inaczej podejść?
Pomyślałem, żeby zamiast niej wstawić tam jej estymator ale nie wiem czy tak można?
Proszę o pomoc.

2. Niech \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie
Poissona z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ \lambda}\) i niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza średnią arytmetyczną zmiennych. Wyznaczyć stałą C, tak aby estymator \(\displaystyle{ C^X}\) był estymatorem nieobciążonym parametru \(\displaystyle{ e^{\lambda}}\)

Zapomniałem napisać najważniejszej rzeczy: w pierwszym estymujemy kwadrat wartości oczekiwanej dlatego to ładnie nie wychodzi z Rao-Cramera.

[Adifek]

1. Pokaż obliczenia.
2. Czym jest \(\displaystyle{ X}\)?

[robertm19]

1. Możesz skorzystać ze statystyki dostatecznej na do obliczenia ENMW.

[PiotrowskiW]

robertm19, Mógłbyś rozwinąć tę myśl?
Chodzi o jakąś konkretną postać estymatora czy co?

-- 26 paź 2014, o 11:14 --

3. Niech \(\displaystyle{ X_1,...,X_n,X_{n+1},...X_m}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie \(\displaystyle{ N\left(\mu,\sigma^{2} \right)}\) z nieznanymi parametrami.
Obserwujemy zmienne \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) ponadto znamy średnią wszystkich zmiennych
\(\displaystyle{ X= \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m}X_j}\).
Znaleźć stałą \(\displaystyle{ C_{n,m}}\) tak aby statystyka
\(\displaystyle{ \frac{1}{C} \sum_{i=1}^{n}\left( X_i-X\right)^2}\) była nieobciążonym estymatorem wariancji.

Chciałem wpierw policzyć wartość oczekiwaną tego bez C.
Intuicja mówi mi, że w tym wszystkim nie może występować \(\displaystyle{ \mu}\)
Tymczasem, po przekształceniu wyszło mi:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\left( X_i-X\right)^2 = \sum_{i=1}^{n}(X_i)^2-2 \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{n}X_i \sum_{j=1}^{m}X_j +\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} X_j \right)^2}\)
Teraz liczę wartość oczekiwaną, i tak:
\(\displaystyle{ E\left( \sum_{i=1}^{n}(X_i)^2\right) =nE(X_{i}^{2})=n(\sigma^2+\mu^2)}\)
\(\displaystyle{ E\left( \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} X_j \right)^2\right=
n \frac{1}{m^2}E\left( \sum_{j=1}^{m}X_i \right)^2=n \mu^2}\)
\(\displaystyle{ E\left( -2 \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{n}X_i \sum_{j=1}^{m}X_j\right)=-2 \frac{1}{m}\left( (n\sigma^2+n^{2} \mu^2)+n(m-n)\mu^2 \right)}\)
Po wysumowaniu tego, \(\displaystyle{ \mu}\) pozostaje, więc jestem pewny, że jest źle.
Prosiłbym o wskazanie błedu i napisane poprawnej wersji.

[robertm19]

Chodzi o wyznaczenie statystyki dostatecznej i zupełnej T. Estymator nieobciążony to srednia. Więc w myśl tw. o ENMW estymator \(\displaystyle{ E(X_{śr}|T)}\)jest estymatorem ENMW.
W przypadku rozkładu normalnego jest to poprostu średnia arytmetyczna.

[PiotrowskiW]

Dopisałem tam wcześniej, że estymujemy \(\displaystyle{ \mu^{2}}\)

[robertm19]

W takim razie estymator nieobciążony zależny od statystyki dostatecznej i zupelnej to \(\displaystyle{ (X_{sr})^2-\frac{\sigma^2}{n}}\).

[Adifek]

Źle rozbijasz \(\displaystyle{ \sum_{i}(X_i -\overline{X})^2}\)

[PiotrowskiW]

To jak mam rozbić?
Po 3 godzinach poradziłem sobie bez pomocy.