Udowodnić, że suma kwadratów odchyleń elementów szeregu od ich średniej arytmetycznej jest mniejsza niż suma kwadratów odchyleń od jakiejkolwiek innej liczby. Czyli dla szeregu rozdzielczego przedziałowego wykazać, że:
Dla każdego "a" różnego od średniej arytmetycznej zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ S ^{2} < \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - a)^{2} * n_{i}}\)
Dowód wariancji
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Dowód wariancji
niech \(\displaystyle{ \overline{x}}\) oznacza średnią
\(\displaystyle{ A = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - a)^{2} \cdot n_{i} =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x} + \overline{x} - a)^{2} \cdot n_{i} =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})^2 \cdot n_i + \sum_{i=1}^{k} 2 (x_{i} - \overline{x})(\overline{x} - a) \cdot n_i + \sum_{i=1}^{k} (\overline{x} - a)^2 \cdot n_i =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})^2 \cdot n_i + 2(\overline{x} - a) \cdot \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})\cdot n_i + n\cdot (\overline{x} - a)^2}\)
zauważmy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})\cdot n_i = 0}\)
czyli \(\displaystyle{ A = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})^2 \cdot n_i + n\cdot (\overline{x} - a)^2}\)
\(\displaystyle{ A}\) będzie najmniejsze jeśli drugi składnik będzie zero a to będzie wtedy kiedy \(\displaystyle{ \overline{x} = a}\)
\(\displaystyle{ A = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - a)^{2} \cdot n_{i} =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x} + \overline{x} - a)^{2} \cdot n_{i} =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})^2 \cdot n_i + \sum_{i=1}^{k} 2 (x_{i} - \overline{x})(\overline{x} - a) \cdot n_i + \sum_{i=1}^{k} (\overline{x} - a)^2 \cdot n_i =}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})^2 \cdot n_i + 2(\overline{x} - a) \cdot \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})\cdot n_i + n\cdot (\overline{x} - a)^2}\)
zauważmy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})\cdot n_i = 0}\)
czyli \(\displaystyle{ A = \sum_{i=1}^{k} (x_{i} - \overline{x})^2 \cdot n_i + n\cdot (\overline{x} - a)^2}\)
\(\displaystyle{ A}\) będzie najmniejsze jeśli drugi składnik będzie zero a to będzie wtedy kiedy \(\displaystyle{ \overline{x} = a}\)