Moc najmocniejszego testu

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Moc najmocniejszego testu

Post autor: MakCis »

Niech \(\displaystyle{ U_i}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym jednostajnym rozkładzie na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\).

\(\displaystyle{ H_0: X & \approx \min(U_1,U_2,U_3) \\ H_1: X \approx \min(U_1,U_2) \end{align}}\)

Wyznaczyć moc najmocniejszego testu na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{8}}\).

Przy \(\displaystyle{ H_0}\) mamy \(\displaystyle{ X \approx F_X(x) = (3x-3x^2+x^3) \cdot 1_{(0,1)}(x)}\), zaś przy \(\displaystyle{ H_1}\) mamy \(\displaystyle{ X \approx F_X(x) = (2x-x^2) \cdot 1_{(0,1)}(x)}\) . Zatem, \(\displaystyle{ \frac{f_1(x)}{f_0(x)}= \frac{-2}{3(x-1)}}\). Dalej \(\displaystyle{ P_0 \left( \frac{-2}{3(X-1)} > k \right) = \cdots = P_0 \left( X < \frac{3k-2}{3k} \right) = \alpha}\). Używając \(\displaystyle{ F}\) z \(\displaystyle{ H_0}\) mamy \(\displaystyle{ 1- \frac{8}{27k^3} = \alpha}\). Zatem moc testu: \(\displaystyle{ P_1(X<\frac{3k-2}{3k})}\) i używając \(\displaystyle{ F}\) z \(\displaystyle{ H_1}\) mamy \(\displaystyle{ P_1(X<\frac{3k-2}{3k}) = 1-(\frac{2}{3k})^2 = 1-(1-\alpha)^{\frac{2}{3}}}\).

W odpowiedziach mam, że ta moc wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Czy jest gdzieś błąd w moim rozwiązaniu czy w odpowiedziach?
ODPOWIEDZ