Zależność i skorelowanie wektora losowego

[GarryMoveOut]

Wektor losowy (X,Y) jest typu ciągłego o gęstości danej wzorem:
\(\displaystyle{ (x,y)= \begin{cases}2x\ dla\ x \in \langle0,1\rangle, y\ \in \langle1,2\rangle \\ 0\ dla\ x \not\in \langle0,1\rangle \vee y \not\in \langle1,2\rangle \end{cases}}\)
Zmienne X i Y są
A.Zależne i nieskorelowane
B.Niezależne i skorelowane
C.Zależne i skorelowane
D.Niezależne i nieskorelowane

Jak określić czy ten wektor jest losowy jest zależny lub nie i skorelowany lub nie? Namalować jego funkcje na wykresie i sprawdzić? No bo linia wykresu będzie rosła tylko dla x od 0 do 1 a w każdym innym wypadku będzie 0. A wtedy będzie zależna tylko o fragmencie 0 i 1 a w innych już nie. Nie wiem jak mam to określić. Mając taki przykładowy wzór.

[bartek118]

Z definicji spróbuj. Policz rozkłady brzegowe i sprawdź

[GarryMoveOut]

A nie ma jakiegoś prostszego sposobu? Bo w tam trzeba całki liczyć. A to najlepiej nigdy mi nie szło.

[norwimaj]

Gęstość da się przedstawić w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których jedna zależy tylko od \(\displaystyle{ x}\), a druga tylko od \(\displaystyle{ y}\).

[GarryMoveOut]

Czyli
\(\displaystyle{ 2x \cdot 0 = 0}\)
Co oznacza że są niezależne ?

[miodzio1988]

zupełnie bez sensu. Bierz się za liczenie rozkładów brzegowych lepiej

[GarryMoveOut]

Jak mam się do tego zabrać. Gdzie znajdę podobny przykład, albo opis jak to zrobić.

[miodzio1988]

Z definicji masz to zrobić, dwie proste całki masz wtedy do policzenia

[GarryMoveOut]

O to chodzi?

\(\displaystyle{ f_{X}(x)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy= \int_{0}^{1}2xdy}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(x)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx= \int_{1}^{2}2xdx}\)

Mam dalej liczyć? Czy źle podstawiłem

[miodzio1988]

Policz i pamiętaj o tym jakie wartości przyjmują te zmienne, zobacz czy wyszły Ci gęstości na pewno

[GarryMoveOut]

Pierwszej całki nie wiem jak mam obliczyć. Jeśli jest dy

A druga to mi wyszło:

\(\displaystyle{ =2 \int_{1}^{2}xdx=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{2}+C = 4 - 1 = 3}\)
Nie wiem tylko czy zapis jest poprawny

[miodzio1988]

Zupełnie nie jest. Musisz nadrobić braki, bo inaczej bieda będzie

[GarryMoveOut]

\(\displaystyle{ =2\int_{1}^{2} x dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{2}\left|\begin{array}{ccc}2\\\\1\end{array}=4 - 1 = 3}\)

Teraz dobrze?

No ale co mi to daje to 3? No i co z pierwszą całką?

[miodzio1988]

No i teraz widzisz, że liczyłeś bez sensu. Czemu? Bo gęstość brzegowa musi się całkować do jedynki.

Podpowiem, źle ułożyłeś całki do gęstości brzegowych

[GarryMoveOut]

\(\displaystyle{ f_{Y}(x)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx= \int_{0}^{1}2xdx =2\int_{0}^{1} x dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{2}\left|\begin{array}{ccc}1\\\\0\end{array}=1 - 0 = 1}\)

O to chodziło?