proces Poissona i zmienna wykładnicza

[pink_snail]

Nie wiem, jak ugryźć poniższe zadanie, z odpowiedzi wiem, że poprawny wynik wynosi 2.
Proces pojawiania się pewnych zdarzeń jest procesem Poissona z wysokim \(\displaystyle{ \lambda}\). Czas od pojawienia się zdarzenia do jego zakończenia ma rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną równą 1. Wybieramy pewien moment czasu \(\displaystyle{ t}\). Ze zbioru wszystkich zdarzeń aktywnych w tym czasie wybieramy losowo jedno, jako \(\displaystyle{ T_1}\) oznaczamy moment jest pojawienia się, a jako \(\displaystyle{ T_2}\) moment jego zakończenia. Przyjmujemy, że zmienne \(\displaystyle{ T_1}\) oraz \(\displaystyle{ T_2}\) są dobrze określone, to znaczy pomijamy jako nieprawdopodobne zdarzenie, iż w chwili \(\displaystyle{ t}\) zbiór zdarzeń aktywnych jest pusty. Należy obliczyć \(\displaystyle{ E(T_2-T_1 | T_2 > t > T_1)}\).

[Adifek]

Czas od pojawienia się zdarzenia do jego zakończenia ma rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną równą 1.

Czyli \(\displaystyle{ T_2-T_1 \sim Exp(1)}\).

Wybieramy pewien moment czasu t. Ze zbioru wszystkich zdarzeń aktywnych w tym czasie wybieramy losowo jedno, jako T_1 oznaczamy moment jest pojawienia się, a jako T_2 moment jego zakończenia.

Z definicji zachodzi więc \(\displaystyle{ T_1 < t <T_2}\).

Tak więc masz zmienną o rozkładzie wykładniczą i warunkujesz ją czymś, co nic nie zmienia.

[pink_snail]

ale czy nie jest tak, że różnica czasów od otwarcia do zamknięcia dla dowolnego zdarzenia ma rozkład wykładniczy, ale jak spojrzymy na ustalony moment \(\displaystyle{ t}\) i zdarzenia, które są wtedy aktywne, to będzie tam więcej zdarzeń, które są aktywne dłużej niż średnio? Bo one pokrywają większy odcinek czasu i łatwiej na nie trafić?

[Adifek]

No wybierasz losowo (jak losowo?) jedno. Ale wybierasz aktywne w tym czasie Czyli takie, które już się rozpoczęło i dopiero się zakończy. A różnica tych czasów ma rozkład wykładniczy.