Mniej więcej rozumiem metodę największej wiarygodności - idea jest taka, że estymatorem parametru zostaje taka statystyka (na ogół), dla której otrzymana próba ma największe prawdopodobieństwo.
No i mniej więcej wiadomo jak to liczyć w "podręcznikowych" przykładach, gdy wyznaczamy średnią np. w rozkładzie normalnym czy wykładniczym (piszemy funkcję wiarygodności, czasem logarytmujemy, różniczkujemy, przyrównujemy do zera i gotowe).
Często pojawia się jednak przykład dla którego w/w "algorytm" nie działa.
Chodzi mi o to, gdy mam próbę z rozkładu jednostajnego
\(\displaystyle{ f(x;\theta)=\frac{1}{\theta} \, \mathbf{1}_{[0,\theta]}(x)}\)
i szukam estymatora dla \(\displaystyle{ \theta}\).
Kojarzę że ktoś sprzedawał wersję z \(\displaystyle{ \hat{\theta}_n=X_{\textrm{max}}+\frac{X_{\textrm{max}} - X_{\textrm{min}}}{n-1}}\), co można logicznie uzasadnić, że w rozkładzie jednostajnym średnio biorąc obserwacje są równomiernie oddalone od siebie i od krańców przedziału na którym skupiony jest rozkład.
Ale wobec tego np. można by też wziąć \(\displaystyle{ \tilde{\theta}=X_{\textrm{max}} + X_{\textrm{min}}}\) , który jednak "na oko" jest gorszy, nie wykorzystuje wiedzy o \(\displaystyle{ n}\), itp.
Czy któryś z nich jest EMNW? Jak to uzasadnić porządnie?
EMNW parametru od którego zależy nośnik rozkładu
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 11 wrz 2014, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Pomógł: 1 raz
EMNW parametru od którego zależy nośnik rozkładu
W takim przypadku ENW jest \(\displaystyle{ X_{max}}\), ponieważ funkcja wiarygodności ma postać:
\(\displaystyle{ L = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n}1_{[0,\theta]}(x_i)}\)
i chcemy ją zmaksymalizować, a widać, że jest to funkcja malejąca parametru \(\displaystyle{ \theta}\) od momentu, gdy wszystkie \(\displaystyle{ x_i}\) są mniejsze lub równe \(\displaystyle{ \theta}\), dla mniejszych \(\displaystyle{ \theta}\) funkcja wiarygodności wynosi 0. Wybieramy więc najmniejsze \(\displaystyle{ \theta}\) takie, które nie zeruje \(\displaystyle{ L}\).
\(\displaystyle{ L = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n}1_{[0,\theta]}(x_i)}\)
i chcemy ją zmaksymalizować, a widać, że jest to funkcja malejąca parametru \(\displaystyle{ \theta}\) od momentu, gdy wszystkie \(\displaystyle{ x_i}\) są mniejsze lub równe \(\displaystyle{ \theta}\), dla mniejszych \(\displaystyle{ \theta}\) funkcja wiarygodności wynosi 0. Wybieramy więc najmniejsze \(\displaystyle{ \theta}\) takie, które nie zeruje \(\displaystyle{ L}\).