EMNW parametru od którego zależy nośnik rozkładu

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Awatar użytkownika
mm34639
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 61 razy

EMNW parametru od którego zależy nośnik rozkładu

Post autor: mm34639 »

Mniej więcej rozumiem metodę największej wiarygodności - idea jest taka, że estymatorem parametru zostaje taka statystyka (na ogół), dla której otrzymana próba ma największe prawdopodobieństwo.

No i mniej więcej wiadomo jak to liczyć w "podręcznikowych" przykładach, gdy wyznaczamy średnią np. w rozkładzie normalnym czy wykładniczym (piszemy funkcję wiarygodności, czasem logarytmujemy, różniczkujemy, przyrównujemy do zera i gotowe).

Często pojawia się jednak przykład dla którego w/w "algorytm" nie działa.

Chodzi mi o to, gdy mam próbę z rozkładu jednostajnego
\(\displaystyle{ f(x;\theta)=\frac{1}{\theta} \, \mathbf{1}_{[0,\theta]}(x)}\)
i szukam estymatora dla \(\displaystyle{ \theta}\).
Kojarzę że ktoś sprzedawał wersję z \(\displaystyle{ \hat{\theta}_n=X_{\textrm{max}}+\frac{X_{\textrm{max}} - X_{\textrm{min}}}{n-1}}\), co można logicznie uzasadnić, że w rozkładzie jednostajnym średnio biorąc obserwacje są równomiernie oddalone od siebie i od krańców przedziału na którym skupiony jest rozkład.
Ale wobec tego np. można by też wziąć \(\displaystyle{ \tilde{\theta}=X_{\textrm{max}} + X_{\textrm{min}}}\) , który jednak "na oko" jest gorszy, nie wykorzystuje wiedzy o \(\displaystyle{ n}\), itp.

Czy któryś z nich jest EMNW? Jak to uzasadnić porządnie?
pink_snail
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 wrz 2014, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Pomógł: 1 raz

EMNW parametru od którego zależy nośnik rozkładu

Post autor: pink_snail »

W takim przypadku ENW jest \(\displaystyle{ X_{max}}\), ponieważ funkcja wiarygodności ma postać:
\(\displaystyle{ L = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n}1_{[0,\theta]}(x_i)}\)
i chcemy ją zmaksymalizować, a widać, że jest to funkcja malejąca parametru \(\displaystyle{ \theta}\) od momentu, gdy wszystkie \(\displaystyle{ x_i}\) są mniejsze lub równe \(\displaystyle{ \theta}\), dla mniejszych \(\displaystyle{ \theta}\) funkcja wiarygodności wynosi 0. Wybieramy więc najmniejsze \(\displaystyle{ \theta}\) takie, które nie zeruje \(\displaystyle{ L}\).
Awatar użytkownika
mm34639
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 61 razy

EMNW parametru od którego zależy nośnik rozkładu

Post autor: mm34639 »

to się nawet trzyma kupy dzięki!
ODPOWIEDZ