Witam,
przygotowuję się do egzaminu ze statystyki i robię zadania z poprzednich. Uprzejmie proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania.
\(\displaystyle{ X_1,\ldots,X_n}\) - próbka z rozkładu Weibulla o gęstości \(\displaystyle{ f_\theta(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll}3\theta x^2e^{-\theta x^3} & ,x>0 \\ 0 & ,x<0\end{array}\right.}\)\(\displaystyle{ \theta>0}\).
a) Znaleźć 1-wymiarowąstatystykę dostateczną. Gdy przyjmiemy \(\displaystyle{ T=x^3}\) otrzymamy \(\displaystyle{ f_\theta(x)=(\theta e^{-\theta T})\cdot (3x^2)=g_\theta(T)\cdot h(x)}\), więc na mocy kryterium faktoryzacji \(\displaystyle{ T}\) jest statystyką dostateczną.
b)Znaleźć estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \theta}\).
\(\displaystyle{ \widetilde{f_\theta}(x_1,\ldots,x_n)=f_\theta(x_1)\cdot\ldots\cdot f_\theta(x_n)=3^n\theta^nx_1^2\ldots x_n^2e^{-\theta\sum_{i=1}^nx^3}.}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{\partial\widetilde{f_\theta}}{\partial\theta}=n3^n\theta^{n-1}(x_1^2\ldotsx_n^2)e^{-\theta\sum x_i^3}+3^n\theta^n(x_1^2\ldotsx_n^2)e^{-\theta\sum x_i^3}=0}\)
Ostatecznie, po uproszczeniu \(\displaystyle{ \widehat{\theta}=\frac{n}{\sum x_i^3}}\).
Pozdrawiam