Wartość oczekiwana i wariancja
-
godos22
Wartość oczekiwana i wariancja
Znaleźć \(\displaystyle{ E(|X-m|)\ i \ D^{2}(|X-m|)}\) jeśli zmienna losowa\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(m,\sigma^{2})}\). Bardzo proszę o rozwiązanie zadania i wytłumaczenie krok po kroku.
-
miodzio1988
Wartość oczekiwana i wariancja
Problem jest dokładnie jaki? \(\displaystyle{ X-m}\) ma jaki rozkład?
-
godos22
Wartość oczekiwana i wariancja
Taki że nie przerabialiśmy tego typu zadań wgl z panem ćwiczeniowcem a obowiązuje na egzamin, i nie mam żadnego odniesienia, i nie wiem jak to ugryźć. Pewnie problem z tym co piszesz
-
miodzio1988
Wartość oczekiwana i wariancja
No to jak nie zaczniesz sam myśleć/pracować to nigdzie nie dojdziemy
Ponawiam pytanie.
Ponawiam pytanie.
-
godos22
Wartość oczekiwana i wariancja
\(\displaystyle{ E(|X-m|)=
\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{(x-m)^{2}} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}\sigma}e ^{ -\frac{(x-m)^{2}}{2\sigma^{2}} }dx=
\left|\begin{array}{c}\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}=t \\\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx=dt \\x-m=\sqrt{2}t\sigma\end{array}\right|=
\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{2}\sigma|t|\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}}=
\sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}|t|e^{-t^{2}}}_{1}=
\sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}}\\
E(|X-m|^{2})=\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^{2}\frac{1}{ \sqrt{2\pi}\sigma}e ^{ -\frac{(x-m)^{2}}{2\sigma^{2}} }dx=
\left|\begin{array}{c}\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}=t \\\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx=dt \\x-m=\sqrt{2}t\sigma\end{array}\right|=
\flac{2\sigma^{2}}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}t^{2}e^{-t^{2}}=
\begin{vmatrix} t&te^{-t^{2}}\\1&-\frac{1}{2}e^{t^{2}}\end{vmatrix}=
\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}(-\frac{1}{2}te^{-t^{2}}}+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^{2}})=\sigma^{2}\\
D(|X-m|)=E(|X-m|^{2})-(E(|X-m|))^{2}=\sigma^{2}-\frac{2\sigma^{2}}{\pi}=\sigma^{2}(1-\frac{2}{\pi})\\}\)
Wynik się niby zgadza ale nie wiem czy tok rozwiązywania jest ok Proszę o sprawdzenie
\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{(x-m)^{2}} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}\sigma}e ^{ -\frac{(x-m)^{2}}{2\sigma^{2}} }dx=
\left|\begin{array}{c}\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}=t \\\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx=dt \\x-m=\sqrt{2}t\sigma\end{array}\right|=
\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{2}\sigma|t|\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}}=
\sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}|t|e^{-t^{2}}}_{1}=
\sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}}\\
E(|X-m|^{2})=\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^{2}\frac{1}{ \sqrt{2\pi}\sigma}e ^{ -\frac{(x-m)^{2}}{2\sigma^{2}} }dx=
\left|\begin{array}{c}\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}=t \\\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx=dt \\x-m=\sqrt{2}t\sigma\end{array}\right|=
\flac{2\sigma^{2}}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}t^{2}e^{-t^{2}}=
\begin{vmatrix} t&te^{-t^{2}}\\1&-\frac{1}{2}e^{t^{2}}\end{vmatrix}=
\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}(-\frac{1}{2}te^{-t^{2}}}+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^{2}})=\sigma^{2}\\
D(|X-m|)=E(|X-m|^{2})-(E(|X-m|))^{2}=\sigma^{2}-\frac{2\sigma^{2}}{\pi}=\sigma^{2}(1-\frac{2}{\pi})\\}\)
Wynik się niby zgadza ale nie wiem czy tok rozwiązywania jest ok Proszę o sprawdzenie