Funkcja charakterystyczna, moment centralny
Funkcja charakterystyczna, moment centralny
Znalezc funkcje charakterystyczna i moment centralny trzeciego rzedu zmiennej losowej o rozkladzie normalnym N(0,1)
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Funkcja charakterystyczna, moment centralny
Niech:
\(\displaystyle{ \xi}\) - zmienna losowa o rozkladzie normalnie \(\displaystyle{ N(0,1)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ f_\xi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}}\)
Oznaczmy przez:
\(\displaystyle{ \varphi_\xi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx}\) - funkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(\displaystyle{ \xi}\)
Zrozczniczkujmy obustronne przez parametr \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}\varphi_\xi(t)}{\mbox{d}t}=\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\cdot e^{itx}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx=\frac{-i}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \ de^{\frac{x^2}{2}}=\frac{-i}{\sqrt{2\pi}}( e^{itx-\frac{x^2}{2}}|_{-\infty}^{\infty} -\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{x^2}{2}}de^{itx})= \frac{-i}{\sqrt{2\pi}}( e^{itx-\frac{x^2}{2}}|_{-\infty}^{\infty} -it\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx)=-t\varphi_\xi (t)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}\varphi_\xi(t)}{\mbox{d}t}=-t\varphi_\xi (t)}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \ln{\varphi_\xi (t)}=-\frac{t^2}{2}+C}\)
Na podstawie wlasnosci funkcji charakterystycznej, mamy ze :
\(\displaystyle{ \varphi_\xi (0)=1}\)
\(\displaystyle{ C=0}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \varphi_\xi (t)=e^{-\frac{t^2}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \xi}\) - zmienna losowa o rozkladzie normalnie \(\displaystyle{ N(0,1)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ f_\xi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}}\)
Oznaczmy przez:
\(\displaystyle{ \varphi_\xi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx}\) - funkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(\displaystyle{ \xi}\)
Zrozczniczkujmy obustronne przez parametr \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}\varphi_\xi(t)}{\mbox{d}t}=\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\cdot e^{itx}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx=\frac{-i}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \ de^{\frac{x^2}{2}}=\frac{-i}{\sqrt{2\pi}}( e^{itx-\frac{x^2}{2}}|_{-\infty}^{\infty} -\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{x^2}{2}}de^{itx})= \frac{-i}{\sqrt{2\pi}}( e^{itx-\frac{x^2}{2}}|_{-\infty}^{\infty} -it\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \ dx)=-t\varphi_\xi (t)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}\varphi_\xi(t)}{\mbox{d}t}=-t\varphi_\xi (t)}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \ln{\varphi_\xi (t)}=-\frac{t^2}{2}+C}\)
Na podstawie wlasnosci funkcji charakterystycznej, mamy ze :
\(\displaystyle{ \varphi_\xi (0)=1}\)
\(\displaystyle{ C=0}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \varphi_\xi (t)=e^{-\frac{t^2}{2}}}\)