Rozklad Poissona - funkcja charakterystyczna
Rozklad Poissona - funkcja charakterystyczna
Znalezc funkcje charakterystyczna zmiennej losowej o rozkladzie Poissona.
Ostatnio zmieniony 21 maja 2007, o 08:23 przez Lukas:), łącznie zmieniany 1 raz.
-
abrasax
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 20 maja 2005, o 13:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 161 razy
Rozklad Poissona - funkcja charakterystyczna
funkcja charakterystyczna dla zmiennej dyskretnej
\(\displaystyle{ \varphi(t)=Ee^{it \xi}=\sum_{k} e^{itk}P(\xi=k)}\)
dla rozkładu Poissona
\(\displaystyle{ P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}\)
\(\displaystyle{ \varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{it})^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{it}}=e^{\lambda(e^{it}-1)}}\)
\(\displaystyle{ \varphi(t)=Ee^{it \xi}=\sum_{k} e^{itk}P(\xi=k)}\)
dla rozkładu Poissona
\(\displaystyle{ P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}\)
\(\displaystyle{ \varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{it})^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{it}}=e^{\lambda(e^{it}-1)}}\)