Matematyka.pl

Niech\(\displaystyle{ X=(X_1,...,X_n)^{'}}\) będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie Maxwella \(\displaystyle{ M_a( \alpha ), gdzie \alpha >0}\) jest parametrem. Rozważmy estymatory funkcji parametrycznej \(\displaystyle{ g( \alpha )= \alpha}\) postaci \(\displaystyle{ \sum_{n}^{1} (ax_k +b)^{2}}\). Aby estymator był nieobciążony należy jakie a oraz b przyjąć?
WSKAZÓWKA: Jeżeli X~\(\displaystyle{ M_a(x)}\),to \(\displaystyle{ E(X)= 2 \sqrt{ \frac{ \alpha }{n} }, Var(X)= \frac{3\pi -8}{2 \pi} \alpha}\)
Dziękuje!

\(\displaystyle{ E\left[ \sum_{n}^{1}(ax_n + b)^2 \right] = \sum_{n}^{1} \left(a^2E[x_{n}^2] + 2abE[x_n] + b^2\right) = na^2E[x^2] + 2nabE[x] + nb^2}\)

Teraz z definicji wariancji i danych do zadania (chyba masz błędne) policzmy

\(\displaystyle{ E[x] = 2\alpha\sqrt{\frac{2}{\pi}} \\
E[x^2] = Var[x] + (E[x])^2 = \frac{3\pi - 8}{\pi}\alpha^2 + 8\frac{\alpha^2}{\pi} = 3\alpha^2}\)

\(\displaystyle{ na^2E[x^2] + 2nabE[x] + nb^2 =3na^2\alpha^2 + 4nab\sqrt{\frac{2}{\pi}} + nb^2}\)

I teraz chcemy, żeby powyższe wynosiło dokładnie \(\displaystyle{ \alpha}\). Dziwnie, wydaje mi się, że nie da się tego zrobić manipulując tylko a i b.