Rozkład procesu

[PiotrowskiW]

Wiem, że powinienem to umieć itp, itd.
Jednakże bardzo proszę, żeby ktoś to rozwiązał.

Proces stochastyczny \(\displaystyle{ left{ X_{t}:t in T=[0, infty )}
ight}}\)
dany wzorem \(\displaystyle{ X_{t}=A(w)sint}\)
Gdzie A jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1]}\)
Wyznaczyć:
(i) Rozkład \(\displaystyle{ X_{t}}\) dla \(\displaystyle{ t \in T}\) (Co konkretnie mam zrobić?)
(ii) Rozkład \(\displaystyle{ ( X_{s}, X_{t})}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ t>s s,t \in T}\)
(iii) Rozkład Rozkład \(\displaystyle{ ( X_{s}, X_{t}, X_{r} )}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ r>t>s s,t,r \in T}\)

[matmatmm]

(i) Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ t\in\{k\pi:k\in\NN_0\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sin t=0}\) oraz \(\displaystyle{ X_t= 0}\).
Drugi przypadek: \(\displaystyle{ t\notin\{k\pi:k\in\NN_0\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sin t\neq 0}\) oraz dla dowolnego zbioru borelowskiego \(\displaystyle{ B}\):
\(\displaystyle{ X_t^{-1}(B)=\{\omega\in\Omega:X_t(\omega)\in B\}=\{\omega\in\Omega:A(\omega)\sin t\in B\}=}\)
\(\displaystyle{ =\left\{ \omega\in\Omega:A(\omega)\in \frac{B}{\sin t}\right\} =A^{-1}\left( \frac{B}{\sin t}\right)}\)
\(\displaystyle{ P_{X_t}(B)=P\left( X_t^{-1}(B)\right)=P\left(A^{-1}\left( \frac{B}{\sin t}\right) \right)=P_A\left( \frac{B}{\sin t} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =\int\limits_{\frac{B}{\sin t}}\mathbf{1}_{[0,1]}(x)\dd x=l_{1}\left(\frac{B}{\sin t}\cap [0,1] \right)}\)