Wyznaczenie przedziału ufności.

[matlaczi]

Witajcie,

Mam problem z zadaniem dotyczącym wyznaczenia przedziału ufności dla wartości średniej i wariancji. Otóż, mam takie oto zadanie:

Dokonano n=120 pomiarów pewnej wielkości i uzyskano wyniki:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|}
\hline
Xi & ni \\
\hline
1,5-2,0 & 8\\
2,0-2,5 & 12\\
2,5-3,0 & 18\\
3,0-3,5 & 26\\
3,5-4,0 & 20\\
4,0-4,5 & 16\\
4,5-5,0 & 12\\
5,0-5,5 & 8\\
\hline
\end{tabular}}\)
a) Przyjmując poziom ufności \(\displaystyle{ 1- \alpha =0,99}\), wyznaczyć przedział ufności dla wartości średniej.
b) Przyjmując poziom ufności \(\displaystyle{ 1- \alpha =0,98}\), wyznaczyć przedział ufności dla wariancji.

Głównym problemem, z którym się borykam to wzory, w sieci znalazłem wzór na prz. ufności średniej w takiej postaci:
\(\displaystyle{ m \in (\overline {x}-u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline {x}+u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}})}\)
Natomiast w notatkach mam taki wzór:
\(\displaystyle{ m \in (\overline {x}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline {x}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}})}\).

Ten sam problem mam z wariancją, w sieci znalazłem taki wzór:
\(\displaystyle{ \sigma \in (S-u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{2n}};S+u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{2n}})}\) -aby uzyskać wariancję należy podnieść wynik do kwadratu.
Natomiast w notatkach mam taki wzór:

\(\displaystyle{ \sigma \in (\frac{s\sqrt{2n}}{\sqrt{2n-3}+u_{\frac{\alpha}{2}}};\frac{s\sqrt{2n}}{\sqrt{2n-3}-u_{\frac{\alpha}{2}}})}\) - też wynik do kwadratu, aby otrzymać wariancję.

Proszę was o pomoc, w rozwiązaniu tego zadania, oraz wytłumaczeniu których wzorów używać.


Pozdrawiam,
matlaczi

[janusz47]

1. Dla przedziału ufności dwustronnego wartości średniej wyznaczamy kwantyle u rzędu \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2},}\) - standaryzowanego rozkładu normalnego.
We wzorze na przedział ufności z internetu należy o tym pamiętać.

2. Jeśli próba jest liczna, to można skorzystać ze statystyki standaryzowanej
\(\displaystyle{ Z= \sqrt{2\chi^{2}}- \sqrt{2\chi -1}}\) o rozkładzie asymptotycznym normalnym \(\displaystyle{ N(0,1)}\), w której \(\displaystyle{ \chi^2}\) jest statystyką \(\displaystyle{ U=\frac{nS^{2}}{\sigma^{2}}}\), a więc liczba stopni swobody \(\displaystyle{ \nu=n-1}\). Stąd \(\displaystyle{ \sqrt{2\nu -1}=\sqrt{2n -3}.}\). Odpowiednio przekształcając - otrzymujemy wzór z wykładu, który możemy w rozwiązaniu tego zadania zastosować.

[matlaczi]

Ok dzięki wielkie za pomoc

Edit:
Jeszcze jedno pytanie. Chcąc obliczyć medianę i modę, należy wziąć po uwagę środki przedziałów Xi?

[janusz47]

Musisz skorzystać ze wzoru na wyznaczenie mediany i mody dla danych w szeregu rozdzielczym.