próba pr. -suma dwóch zmiennych niezależnych i stat. zupełna

[mira555]

Mam takie zadanie:

Niech \(\displaystyle{ Y=\left( Y_{1},...,Y_n \right)}\) będzie próbą prostą z rozkładu \(\displaystyle{ Beta( \alpha ,1)}\) i niech \(\displaystyle{ Z=\left( Z_{1},...,Z_n \right)}\) będzie niezależną od \(\displaystyle{ Y}\) próbą prostą z rozkładu geometrycznego \(\displaystyle{ Ge(p)}\). Niech \(\displaystyle{ X_i=Y_i+Z_i}\), dla \(\displaystyle{ i=1,...,n}\) będzie próbą prostą z rodziny \(\displaystyle{ P}\) indeksowanej przez \(\displaystyle{ \theta=\left( \alpha ,p\right) \in \left( 0, \infty \right) \times \left( 0,1\right)}\). Wyznaczyć statystykę dostateczną i zupełną dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\) opartą na tej próbie prostej.

... i stanęłam w miejscu wyznaczenia rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X_i}\). Wyszło mi, że
\(\displaystyle{ P\left( X_i \le t\right)= \sum_{k=0}^{ \infty }P\left(Y+Z \le t|Z=k\right) \cdot P\left(Z=k\right)= \frac{1-p}{ \alpha \cdot B( \alpha ,1)} \sum_{k=0}^{ \infty } \left( t-k\right) ^{ \alpha } \cdot p^k}\)

no i nie wiem co dalej i czy wogóle dobrze się zabieram do wyznaczenia tego rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X_i}\). Bardzo proszę o jakieś wskazówki co dalej lub jakieś inne rozwiązanie.

[Adifek]

<tu siedziały głupoty>

[mira555]

Produkt to chyba byłby rozkład wektora \(\displaystyle{ (Y_i,Z_i)}\) a tutaj trzeba rozkład sumy i do tego jedna zmienna jest typu dyskretnego a druga typu ciągłego

[Adifek]

W rzeczy samej, głupotę napisałem Suma ma gęstość zadaną splotem.

Możesz jeszcze odwrócić swoje rozumowanie:

\(\displaystyle{ P\left( X \le x\right)=\int_{0}^{1}P\left(Y+Z \le x|Y=t\right) f_{\alpha}(t) dt = \int_{0}^{1}P\left(Z \le x-t\right) f_{\alpha}(t) dt = \int_{0}^{1}\left[ 1-(1-p)^{\lfloor x- t \rfloor}}\right] f_{\alpha}(t) dt = \int_{0}^{t_0}\left[ 1-(1-p)^{\lfloor x \rfloor}}\right] f_{\alpha}(t) dt + \int_{t_0}^{1}\left[ 1-(1-p)^{\lfloor x- 1 \rfloor}}\right] f_{\alpha}(t) dt}\)

gdzie \(\displaystyle{ f_{\alpha}(t)}\) jest gęstością \(\displaystyle{ Y}\).

[mira555]

no tak chyba można, tylko jak znaleźć to \(\displaystyle{ t_0}\), kolejna niewiadoma dochodzi... chyba ,że czegoś nie zrozumiałam

[Adifek]

\(\displaystyle{ t_0}\) jest funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

\(\displaystyle{ t_0(x) = \sup \left\{ t\in (0,1): x-t \ge \lfloor x \rfloor \right\} = \inf \left\{ t\in (0,1): x-t \le \lfloor x \rfloor \right\}}\)

czyli innymi słowy, to \(\displaystyle{ t}\), dla którego \(\displaystyle{ \lfloor x-t \rfloor}\) ma skok (jako funkcja \(\displaystyle{ t}\)). Stąd widać, że \(\displaystyle{ t_0(x) = x-\lfloor x \rfloor}\)

Tak więc dostajemy:

\(\displaystyle{ P\left( X \le x\right) = \int_{0}^{x-\lfloor x \rfloor}\left[ 1-(1-p)^{\lfloor x \rfloor}}\right] f_{\alpha}(t) dt + \int_{x-\lfloor x \rfloor}^{1}\left[ 1-(1-p)^{\lfloor x- 1 \rfloor}}\right] f_{\alpha}(t) dt}\)

[mira555]

a... no to już rozkład \(\displaystyle{ X_i}\) mamy;) dzięki za pomoc;)