W rafinerii przy produkcji benzyny analizowano liczby oktanowe produktu w zależności od czystości katalizatora i udziału węgla (wagowego) osadzonego na katalizatorze wyrażonego w procentach. Wyniki pomiarów przedstawiono w tablicy.
Kolumna 1
Liczba oktanowa
y
88,6
88,4
87,2
88,4
87,2
86,8
86,1
87,3
86,4
86,6
87,1
Kolumna 2
Czystość katalizatora
X1, %
99,8
99,7
99,6
99,5
99,4
99,3
99,2
99,1
99,0
98,9
98,8
Kolumna 3
Udział węgla
X2, %
3
10
7
2
5
6
8
3
5
4
2
1. Sprawdzić czy poniższy układ równań wynikający z pochodnych cząstkowych przyrównanych do zera jest prawidłowy. Następnie rozwiązując poniższy układ równań (gdzie n = 11 - ilość pomiarów):
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}y_{i}= n \cdot a + b \cdot (\sum_{}^{}x_{1i}) + c \cdot (\sum_{}^{}x_{2i})}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}y_{i} \cdot x_{1i} = a \cdot (\sum_{}^{}x_{1i}) + b \cdot (\sum_{}^{}x_{1i} ^{2} ) + c \cdot (\sum_{}^{}x_{1i} \cdot x_{2i})}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}y_{i} \cdot x_{2i} = a \cdot (\sum_{}^{}x_{2i}) + b \cdot (\sum_{}^{}x_{1i} \cdot x_{2i}) + c \cdot (\sum_{}^{}x_{2i} ^{2} )}\)
zapisać zależności określające współczynniki a, b i c równania regresyjnego:
\(\displaystyle{ y = a + b \cdot x_{1} + c \cdot x_{2}}\)
oraz wyznaczyć ich wartości liczbowe.
2. Wykorzystać otrzymane równanie do predykcji liczby oktanowej dla benzyny o czystości katalizatora 98,6 i udziale węgla 2,5.
3. Przyjmując poziom ufności 95% oraz zależności:
\(\displaystyle{ S^{2} (b) = c_{11} \cdot S^{2} (y)}\)
\(\displaystyle{ S^{2} (c) = c_{22} \cdot S^{2} (y)}\)
gdzie \(\displaystyle{ c_{11}}\) elementy na głównej przekątnej odwrotnej macierzy układu równań, lub inaczej nazywane mnożniki Gaussa, a na oszacowanie wariancji \(\displaystyle{ S^{2} (y)}\) zależność:
\(\displaystyle{ S^{2} (y) = \frac{ \sum_{}^{} y^{2} }{n - k -1}}\)
gdzie k liczba zmiennych niezależnych, oraz wykorzystując zależności:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}y^{2} = \sum_{}^{} ( y_{i} - \vec{y} )^{2} - \sum_{}^{}c ^{2}}\)
gdzie suma kwadratów odchyleń zniesionych przez regresję, wynosi:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} c ^{2} = b \cdot \sum_{}^{}(x _{1i} - \vec{x}_{1}) \cdot (y _{1} - \vec{y}) + c \cdot \sum_{}^{}(x _{2i} - \vec{x}_{2}) \cdot (y _{1} - \vec{y})}\)
obliczyć niepewność dla linii regresyjnej \(\displaystyle{ S^{2} (y)}\) oraz niepewności dla poszczególnych współczynników
4. Następnie obliczyć współczynniki korelacji między następującymi parami zmiennych:
• Liczba oktanowa i czystość katalizatora.
• Liczba oktanowa i udział węgla.
• Czystość katalizatora i udział węgla.
• Liczbą oktanową, udziałem węgla i czystością katalizatora, wykorzystując zależność:
\(\displaystyle{ R^{2} = \frac{ \sum_{}^{}c^{2} }{ \sum_{}^{}(y _{1} - \vec{y})^{2} } = 1 - \frac{ \sum_{}^{}y^{2} }{ \sum_{}^{}(y _{1} - \vec{y})^{2} } = 1 - \frac{\sum_{}^{}(y _{1} - \vec{y})^{2} - \sum_{}^{}c^{2} }{\sum_{}^{}(y _{1} - \vec{y})^{2} }}\)
5. W każdym przypadku sprawdzić hipotezę zerową, że nie istnieje korelacja, na poziomie ufności 95%.
Tam gdzie jest wektor ma być "-" ale nie wiem jak w tex'ie zrobić wartość średnią.
Niektóre "y" mają taki daszek "^" - niestety też nie wiem jak je zrobić w tex'ie, dlatego dodaje wersje zadania w png.
Dodatkowo:
zadanie w wersji obrazu:
Przyjmę każdą pomoc.
Statystyka to nie mój konik.