Wyznaczyć ENW i EMM

[Tifulo]

Cecha \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ \theta \in (0,1)}\), gdzie \(\displaystyle{ P_{\theta}(X=x)=(1-\theta)^x \theta}\), dla \(\displaystyle{ x=0,1,2,...}\) . Niech \(\displaystyle{ (X_1, ..., X_n)}\) będzie próbą losową z tego rozkładu. Wyznaczyć \(\displaystyle{ ENW( \theta)}\) i \(\displaystyle{ EMM( \theta)}\), wiedząc że \(\displaystyle{ E_{ \theta }= \frac{1-\theta}{\theta}}\).

Przez chorobę nie byłem na zajęciach i patrząc nawet na rozwiązanie od znajomego oraz na wykład nic nie rozumiem, czy znalazłaby się jakaś dobra osoba i mi wytłumaczyła po kolei, bardzo łopatologicznie co robimy i dlaczego? Myślę, że jak zrozumiem jedno zadanie to następne dam już radę. Będę bardzo, ale to bardzo wdzięczny.

[miodzio1988]

Pokaż rozwiązanie i powiedz w których momentach się gubisz. Pomogę

[Tifulo]

W zeszycie jest:

\(\displaystyle{ E_{ \theta } (X)= \frac{1-\theta}{\theta}=\overline{X} \\ \\ 1- \theta=\overline{X} \theta \\ \\ \theta= \frac{1}{\overline{X}+\theta} \\ \\ \overline{X}=4 \\ \\ \theta= \frac{1}{4+1}= \frac{1}{5}}\)

Próbuję to skminić, ale za nic nie mogę, zaczynając już od początku, dlaczego \(\displaystyle{ E_{ \theta }=\overline{X}}\) ? Potem, skąd: \(\displaystyle{ \overline{X}=4}\) ?

Ok, na wikipedii widzę, że w rozkładzie geo mamy wartość oczekiwana równa się średniej, ale na drugie pojęcia nie mam.

[miodzio1988]

Tak właśnie działa metoda momentów. Pierwszy moment czyli wartość oczekiwana jest porównany do średniej z próbki. Dzięki temu wyznaczamy estymator dla danego parametru.

Czemu czwórka? Całą treść zadania masz? Bo w tym momencie nie wynika to z treści zadania

Konkretna próbka potrzebna jest

[Tifulo]

Co do treści to cała, zapewne coś na zajęciach sobie "dodali".

Czyli \(\displaystyle{ EMM ( \theta ) = \frac{1}{\overline{X}+\theta}}\) ?

Czy \(\displaystyle{ ENW}\) wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{1-X}}\) ?

[miodzio1988]

Nie. Dwie rzeczy do bani.

W pierwszym wyznaczasz \(\displaystyle{ \theta}\), czyli po jednej stronie masz ten parametr po drugiej resztę. Po drugiej stronie nie może być \(\displaystyle{ \theta}\) więc w tym momencie zadanie jest zrobione do bani.

W drugim czym jest \(\displaystyle{ X}\)? Ta odpowiedź jest zupełnie bez sensu

[Tifulo]

W pierwszym mi się źle przepisało: \(\displaystyle{ EMM ( \theta ) = \frac{1}{\overline{X}+1}}\), teraz dobrze?

W drugim przyjąłem, że to \(\displaystyle{ P_{\theta}(X=x)=(1-\theta)^x \theta}\) jest funkcją wiarygodności, ale coś czuje, że źle myślę?

[miodzio1988]

Zad 1 zgadza się

Zad 2 Nie jest. Zobacz jak definiujemy taką funkcję. jako pewien iloczyn

[Tifulo]

Czy to będzie \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1-\theta)^{x_i} \theta}\) ?

[miodzio1988]

Tak, zgadza się. Można to wymnożyć teraz ładnie.

[Tifulo]

Ostatecznie wyszło mi coś takiego: \(\displaystyle{ \theta= \frac{n}{n+ \sum x_i }}\), dobrze?

Co można zapisać jako: \(\displaystyle{ \theta= \frac{1}{1+ \overline{X}}}\) to samo co EMM ?

[miodzio1988]

Elegancko.

Podziel wszystko przez \(\displaystyle{ n}\) i zobaczysz jaki fajny wynik Ci wyjdzie.

I daszek zjadłeś, bo to estymator jest