Dystrybuanta, gestosc prawdopodobienstwa

[Dexous]

Mam zmienna losowa X, której rozkład przedstawiony jest za pomocą gęstości prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{-x} dla x \ge 0 \\ 0 dla x < 0 \end{cases}}\)
I mam znaleźć rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = min(X,4-X)}\)

Probowałem w taki sposób
Wyznaczyłem na podstawie gęstości dystrybuante
\(\displaystyle{ F_X(x) = \int_{- \infty }^{x} f(t) dt = \int_{- \infty }^{0} 0 dt + \int_{0 }^{x} e^{-t} dt}\)
czyli
\(\displaystyle{ F_X(x) = \begin{cases}1-e^{-x} x > 0\\ 0 x \le 0 \end{cases}}\)
Dalej proboje liczyć dystrybuante \(\displaystyle{ F_Y(x) = P(Y<x) = P(min(4,4-X) < x)}\)
i nie wiem jak to rozlozyc.

[lokas]

\(\displaystyle{ P\left( \min \left\{ X,Y\right\}<x\right)=P\left( X<x\right) \cdot P\left( X \le Y\right)+P\left( Y<x\right) \cdot P\left( X>Y\right)}\)

[Dexous]

jak doszedles do tego wzoru ? Czy ma on cos wspolnego z niezaleznoscia zmiennych losowych ?
I jak z tego wyznaczyc dystrybuante

[buus]

\(\displaystyle{ P(\min\{X,4-X\}\leq x)=1-P(\min\{X,4-X\}>x)=\\=1-P(X>x,4-X>x)=1-P(X\in(x,4-x)).}\)
Dalej już policzysz.

Generalnie:
\(\displaystyle{ P(\max\{X,Y\}\leq x)=P(X\leq x,Y\leq x)\\
P(\min\{X,Y\}>x)=P(X>x,Y>x)}\)

[Dexous]

Jak to dokończyć ?
Na pewno jest to poprawne ? Co jak wstawisz np x = 10 to otrzymasz przedzial ( 10 ; - 6)

[buus]

Na pewno jest to poprawne ? Co jak wstawisz np x = 10 to otrzymasz przedzial ( 10 ; - 6)

I ile to jest \(\displaystyle{ 1-P(X\in(10,-6))}\) ? Wszystko jest dobrze.