Rozkład geometryczny, wartość oczekiwana, wariancja

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
aniabo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 24 mar 2014, o 09:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wro

Rozkład geometryczny, wartość oczekiwana, wariancja

Post autor: aniabo »

Witajcie,
proszę o pomoc z zadaniami:

1) Załóżmy, że X jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym z parametrem p. Wykazać, że
\(\displaystyle{ E( \frac{1}{X} ) = \frac{-p\log p}{1-p}}\)
Wskazówka: \(\displaystyle{ \frac{x^i}{i} = \int_{0}^{x} t^{i-1} dt}\)

2) Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstości \(\displaystyle{ \frac{2x}{a^2}, 0 < x < a}\). Niech\(\displaystyle{ Y=max{X_1, X_2}, Z = min{X_1, X_2}}\).
a) oblicz gęstość i wart oczekiwaną zmiennej Y.
b) oblicz gęstość i wart oczekiwaną zmiennej Z.
oblicz gęstość i wart oczekiwaną zmiennej U = Y-Z.

Do pierwszego zadania zdecydowanie proszę o wskazówkę jak zacząć, co liczyć. Nie umiem ruszyć.

W zadaniu drugim nie wiem, czy nie wystarczy obliczyć gęstości dla X i napisać \(\displaystyle{ f_Y= max{f_X_1, f_X_2}}\) tak samo może z Z?

Prosżę o wskazówki.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Rozkład geometryczny, wartość oczekiwana, wariancja

Post autor: Kartezjusz »

2.Polecam skorzystać z przedstawienia
\(\displaystyle{ max \{ a, b \} = \frac{|a+b|+|a-b|}{2}}\) dla minimum podobnie, tyle,że masz minus zamiast plusa. Rozkład sumy, Rozkład różnicy i tak dalej-- 24 marca 2014, 10:15 --1. Zapisz sumę, którą każą policzyć. \(\displaystyle{ \frac{1}{X}}\) mierzalne
aniabo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 24 mar 2014, o 09:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wro

Rozkład geometryczny, wartość oczekiwana, wariancja

Post autor: aniabo »

Zapisałam sobie zadanie 1.
\(\displaystyle{ E( \frac{1}{X}) = \int_{0}^{1} \frac{1}{X} \cdot \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{X} \cdot (1-p)^{k-1}p}\) Jednakże nie wiem, co mam z tym dalej zrobić. Nie widzę też, gdzie jest użycie wskazówki

W zadaniu 2 natomiast skoro \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) są niezależne, to jak zapisać
\(\displaystyle{ f(Y) = f( \frac{X_1+X_2 + |X_1-X_2|}{2})}\)
buus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 26 sty 2014, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pomógł: 1 raz

Rozkład geometryczny, wartość oczekiwana, wariancja

Post autor: buus »

ad 2)
\(\displaystyle{ P(\max\{X_1,X_2\}\leq x)=P(X_1\leq x,X_2\leq x)\\
P(\min\{X_1,X_2\}>x)=P(X_1>x,X_2>x)}\)
ODPOWIEDZ