Rozkład chi-kwadrat , suma kwadratów zmiennych... dowód

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Awatar użytkownika
PiotrowskiW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 649
Rejestracja: 14 lis 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wojkowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 67 razy

Rozkład chi-kwadrat , suma kwadratów zmiennych... dowód

Post autor: PiotrowskiW »

Spotkałem się z następującym twierdzeniem:
Jeżeli \(\displaystyle{ X_{1},..., X_{n}}\) mają ten sam rozkład normalny z parametrami
\(\displaystyle{ \left( m,\sigma^2 \right)}\) ,to
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n}( X_{i}-X)^2}\)
ma rozkład chi-kwadrat z n-1 stopniami swobody.
Gdzie \(\displaystyle{ X= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\)

Chciałbym zobaczyć jego dowód, a najlepiej poznać nazwę tego twierdzenia.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Rozkład chi-kwadrat , suma kwadratów zmiennych... dowód

Post autor: matmatmm »

Doszedłem do tego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n}( X_{i}-X)^2=\frac{1}{\sigma^2}\left( \sum_{i=1}^{n}X_{i}^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right)=\frac{1}{n\sigma^2}\sum_{\substack{i,j\in\{1,\ldots,n\} \\ i\neq j}}\left(X_i-X_j\right)^2}\)
Awatar użytkownika
PiotrowskiW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 649
Rejestracja: 14 lis 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wojkowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 67 razy

Rozkład chi-kwadrat , suma kwadratów zmiennych... dowód

Post autor: PiotrowskiW »

\(\displaystyle{ = \frac{1}{\sigma^2} (\sum_{i=1}^{n} X_{i}^2 -\left( \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2})}\)
teraz nie wiem czemu mam:
\(\displaystyle{ Z_{n}:= \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\)

nie wiem czym jest \(\displaystyle{ Z _{i}}\) ale mam napisane następnie, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} X_{i}^2=\sum_{i=1}^{n} Z_{i}^2}\)
ODPOWIEDZ