Przedziały ufności

[Torquenstain]

Witam,
mam problem ze zdaniem teorii ze statystyki. Studiuję jedną książkę, ale niestety nie jestem w stanie niektórych rzeczy z niej zrozumieć.

Otóż: jeśli dla danej liczby \(\displaystyle{ \alpha \in (0, 1)}\) jest spełniony warunek:

\(\displaystyle{ P({\omega: \underline{U_{n}}(\omega) \le \theta \le \overline{U_{n}}(\omega)}) = 1 - \alpha}\)

to przedział \(\displaystyle{ (\underline{U_{n}}, \overline{U_{n}})}\) nazywamy przedziałem ufności dla \(\displaystyle{ \theta}\), a liczba \(\displaystyle{ 1 - \alpha}\) poziomem ufności.

I teraz muszę przedstawić to graficznie.
Narysowałem, więc wykres rozkładu normalnego i zaznaczyłem na nim \(\displaystyle{ \underline{U_{n}}, \overline{U_{n}}}\) i \(\displaystyle{ \theta}\)

AU

076069093130eb8f.jpg (16.72 KiB) Przejrzano 90 razy

Moje pytania to:
1) Czy oznaczenia są poprawne?
2) Co to jest ten zakreskowany obszar? Bo ogółem obszar pod wykresem to dystrybuanta, mam rację?

Będę bardzo wdzięczny za pomoc

[kropka+]

1. \(\displaystyle{ \theta}\) źle. To jest jakaś wartość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), więc jest ona na osi \(\displaystyle{ OX}\), ale nie wiemy gdzie dokładnie. Wiemy, że z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1- \alpha}\) znajduje się ona w przedziale ufności. Na osi \(\displaystyle{ OY}\) są wartości funkcji gęstości.
2. Zakreskowany obszar to suma prawdopodobieństw, że \(\displaystyle{ \theta}\) jest na lewo lub na prawo od przedziału ufności. Gdyby obszar pod całym wykresem był zakreskowany, to jego pole wynosiłoby \(\displaystyle{ 1}\), gdyż byłoby to prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje dowolną wartość rzeczywistą.
Czyli z wykresu usuń \(\displaystyle{ \theta}\) i możesz dopisać w pustym obszarze \(\displaystyle{ 1- \alpha}\), czyli prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ \theta}\) jest w przedziale ufności.

[Torquenstain]

ach.. teraz rozumiem
super, bardzo dziękuję

A wiesz może jeszcze czym jest \(\displaystyle{ \omega}\) w tym zapisie:

\(\displaystyle{ P({\omega: \underline{U_{n}}(\omega) \le \theta \le \overline{U_{n}}(\omega)}) = 1 - \alpha}\) ?

bo \(\displaystyle{ \underline{U_{n}}}\) to najmniejsza wartość w przedziale, a \(\displaystyle{ \overline{U_{n}}}\) to największa, zgadza się?
Czyli \(\displaystyle{ \omega}\) w tym wypadku to będzie jakaś konkretna próbka, czyli jakaś zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\), tak?

[kropka+]

Nie wiem co to jest \(\displaystyle{ \omega}\) - bardzo możliwe, że to próba losowa. Może podaj jakiś kontekst.

[Torquenstain]

Jest napisane tylko tyle:

Niech \(\displaystyle{ X_{1}...X_{n}}\) będzie n-elementową próbką z populacji, w której cecha \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład typu ciągłego, zależny od parametru \(\displaystyle{ \theta}\). Niech \(\displaystyle{ \underline{U_{n}}, \overline{U_{n}}}\) będą dwoma statystykami, takimi, że prawdopodobieństwo:

2.48 \(\displaystyle{ P({\omega: \underline{U_{n}}(\omega) \le \overline{U_{n}}(\omega)}) = 1}\)

Jeśli dla danej liczby \(\displaystyle{ \alpha \in (0, 1)}\) jest spełniony warunek:

2.49 \(\displaystyle{ P({\omega: \underline{U_{n}}(\omega) \le \theta \le \overline{U_{n}}(\omega)}) = 1 - \alpha}\)

to przedział \(\displaystyle{ (\underline{U_{n}}, \overline{U_{n}})}\) nazywamy przedziałem ufności dla \(\displaystyle{ \theta}\), a liczbę \(\displaystyle{ 1 - \alpha}\) poziomem ufności.
Z powyższej definicji wynika, że przedział ufności jest przedziałem losowym. Wzór (2.49) należy interpretować tak, że w dużej serii próbek częstość zdarzenia polegającego na tym, że przedział ufności pokrywa nieznaną wartość parametru \(\displaystyle{ \theta}\) jest w przybliżeniu równa \(\displaystyle{ 1 - \alpha}\)

więc tak mi się wydaje, że \(\displaystyle{ \omega}\) to któryś element z tej próbki.

Jest podany jeszcze przykład, lecz tego to już całkiem nie rozumiem
Choć jeśli chcesz to go przepiszę gdyby miał coś pomóc

[kropka+]

Mnie się wydaje, że \(\displaystyle{ \omega}\) to jest cała próbka losowa, więc dla każdej próbki, będą trochę inne granice przedziału ufności i dlatego to jest przedział losowy (bo zależy od tego jaką próbkę wylosujemy). Nie jestem jednak tego pewna.Wyjaśniło się natomiast, że \(\displaystyle{ \theta}\) to parametr rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
Wolałabym, żeby wypowiedział się jeszcze ktoś inny, bo nie chcę wprowadzić Cię w błąd.

[Torquenstain]

hmm... w sumie ma to sens
\(\displaystyle{ \omega}\) będzie całą n-elementową próbką
\(\displaystyle{ \underline{U_{n}}}\) będzie najmniejszym elementem próbki, a \(\displaystyle{ \overline{U_{n}}}\) największym.
Zgadza się?

A skoro \(\displaystyle{ \theta}\) to parametr rozkładu, to coś się zmienia odnośnie tego wykresu, który mi tłumaczyłaś?

[kropka+]

\(\displaystyle{ \underline{U_{n}}}\) będzie najmniejszym elementem próbki, a \(\displaystyle{ \overline{U_{n}}}\) największym.
Zgadza się?

To nieprawda. To są krańce przedziału ufności. Natomiast masz rację, że jak parametr się zmienia, to wykres funkcji gęstości rozkładu się zmienia. Tu masz napisane jak wyliczać przedziały ufności dla różnych parametrów

[Torquenstain]

Szczerze mówiąc to teraz już mi się wszystko pomieszało

A co do wykresu to chodziło mi o to, czy to co pisałaś na początku jest dalej aktualne. Czyli np. czy parametr \(\displaystyle{ \theta}\) to nadal jest punkt na osi \(\displaystyle{ OX}\)?

[kropka+]

Tak

[Torquenstain]

O tak udało mi się to zdać ;D

Bardzo dziękuję za pomoc

[kropka+]

Gratuluję, że pomimo mojej nieudolnej pomocy udało Ci się zdać
Przy okazji, \(\displaystyle{ \omega}\) to zdarzenie elementarne.