Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej

[ula36]

W rajdzie biorą udział 2 samochody pochodzące z koncernu Hondy. Prawdopodobieństwo ukończenia rajdu jest identyczne dla tych samochodów i wynosi \(\displaystyle{ 0.8}\). Niech zmienna \(\displaystyle{ X}\) oznacza, ilość samochodów tego koncernu, które dojechały do mety. Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\) oraz jej dystrybuantę (graficznie i analitycznie). Obliczyć \(\displaystyle{ E(X)}\) i \(\displaystyle{ D(X)}\).

[loitzl9006]

Są trzy możliwe scenariusze: albo żaden samochód nie dojedzie do mety (wtedy \(\displaystyle{ X=0}\)), jeden dojedzie drugi nie dojedzie - wtedy \(\displaystyle{ X=1}\), i wreszcie oba ukończą rajd i wtedy \(\displaystyle{ X=2}\).

Zanim policzymy \(\displaystyle{ E(X)}\), trzeba policzyć prawdopodobieństwa zdarzeń, że
a) żaden nie dojedzie,
b) jeden dojedzie drugi nie,
c) oba dojadą.

Ad. a)
Jeżeli wiadomo, że pojedynczy samochód dojeżdża do mety z p-stwem \(\displaystyle{ 0.8}\), to logicznym powinno być że z p-stwem \(\displaystyle{ 0.2}\) samochód nie kończy rajdu.

Zatem \(\displaystyle{ P(X=0)=0.2\cdot 0.2=0.04}\)

Ad. c)
\(\displaystyle{ P(X=2)=0.8\cdot 0.8=0.64}\)

Licząc p-stwo że \(\displaystyle{ X=1}\), od zdarzenia pewnego odejmujesz \(\displaystyle{ P(X=0)}\) i \(\displaystyle{ P(X=2)}\):

\(\displaystyle{ P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-0.04-0.64=0.32}\)

Liczymy \(\displaystyle{ E(X)}\):

\(\displaystyle{ E(X)=0.04\cdot 0+0.32\cdot 1 + 0.64\cdot 2=0+0.32+1.28=1.6}\)

Dystrybuanta teraz:

\(\displaystyle{ D(X=m)}\) określa, jakie jest prawdopodobieństwo że zmienna \(\displaystyle{ X}\) przyjmie wartość mniejszą niż \(\displaystyle{ m}\), z tego wynika bezpośrednio, że:

\(\displaystyle{ D(X\le 0)=0 \\ D(X=1)=P(X=0) \\ D(X=2)=P(X=0)+P(X=1) \\ D(X>2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)}\)

Z tego wszystkiego wynika, że

\(\displaystyle{ D(X\le 0)=0 \\ D(X=1)=0.04 \\ D(X=2)=0.04+0.32=0.36 \\ D(X>2)=0.04+0.32+0.64=1}\)

koniec zadania

[ula36]

Dziękuję pięknie