rozkład zmiennej losowej X-Y o tej samej gęstości

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
hera13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 11 lut 2014, o 17:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

rozkład zmiennej losowej X-Y o tej samej gęstości

Post autor: hera13 »

Hera pisze:Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładniczym o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}e^{-x}&\text{dla } x>0\\ 0&\text{dla } x \le 0 \end{cases}}\)
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Z=X-Y

Zadanie ze zbioru "Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz. 1, Włodzimierz Krysicki, Jerzy Bartos"
Jaki wzór zastosować, aby wyznaczyć rozkład tej zmiennej? W jaki sposób te zmienne przedstawić?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

rozkład zmiennej losowej X-Y o tej samej gęstości

Post autor: Adifek »

Możesz na co najmniej dwa sposoby.

1) Zauważ, że zmienna \(\displaystyle{ -Y}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f(y) = e^y}\) dla \(\displaystyle{ y<0}\) i możesz policzyć gęstość \(\displaystyle{ X-Y = X+(-Y)}\) ze splotu.

2) Policzyć dystrybuantę

\(\displaystyle{ F(t) = P(X-Y<t) = \iint_{D_t}e^{-x}e^{-y}dxdy}\)

gdzie \(\displaystyle{ D_t=\left\{ (x,y): x-y <t , \ x>0, \ y>0\right\}}\)
hera13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 11 lut 2014, o 17:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

rozkład zmiennej losowej X-Y o tej samej gęstości

Post autor: hera13 »

Jaka metoda będzie najprostsza? Pierwszy raz mam zdarzenie z probabilistyką i nie mam pojęcia jak się do tego zabrać. Szukałam wzoru na splot funkcji, na forum jeden użytkownik rozwiązał podobny przykład w ten sposób, ale z pominięciem poszczególnych etatów dlatego kompletnie nie wiem co robić.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

rozkład zmiennej losowej X-Y o tej samej gęstości

Post autor: Adifek »

Splot \(\displaystyle{ f*g}\) dany jest wzorem

\(\displaystyle{ (f*g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(x-u)du = \int_{-\infty}^{\infty}f(x-u)g(u)du}\)
hera13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 11 lut 2014, o 17:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

rozkład zmiennej losowej X-Y o tej samej gęstości

Post autor: hera13 »

a jednak metoda ze splotem trudniejsza chyba. Całkować muszę tylko po obszarze x-y<t . Tylko jak mam wyznaczyć to t ?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

rozkład zmiennej losowej X-Y o tej samej gęstości

Post autor: Adifek »

Przecież tego nie wyznaczasz, tylko to punkt, w którym liczysz dystrybuantę...

Gęstość ze splotu dla \(\displaystyle{ x>0}\):

\(\displaystyle{ g(x) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u}\chi _{(0, \infty )}(u) \cdot e^{x-u}\chi _{(-\infty ,0)}(x-u)du = \\ \\
= e^{x} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2u}\chi _{(0, \infty )}(u) \chi _{(x, \infty)}(u) du = \\ \\
= e^{x} \int_{x}^{\infty} e^{-2u} du = \frac{e^{-x}}{2}}\)


Dla \(\displaystyle{ x<0}\) wyjdzie to samo tylko z minusem i ostatecznie dostaniemy:

\(\displaystyle{ g(x) =\frac{e^{-|x|}}{2}}\)
ODPOWIEDZ