Wartość oczekiwana złożenia dwóch zmiennych losowych

[ki_wi]

Witajcie,
potrzebuję sugestii jak opisać matematycznie poniższą sytuację.

W sieci znajdują sie dwa węzły A i B, każdy z nich rozgłasza periodycznie ramki, odpowiednio z okresem \(\displaystyle{ T_{A}}\) i \(\displaystyle{ T_{B}}\). W dowolnym momencie włączamy do sieci trzeci węzeł S. Jaki jest średni czas zanim węzeł S usłyszy dowolną z ramek od węzłow A lub B?

[Sir George]

dwa węzły A i B, każdy z nich rozgłasza periodycznie ramki,

znaczy się niezależnie od siebie i jednstajnie, jak rozumiem,... tj. czas oczekiwania na ramkę z węzła A po włączeniu się do sieci ma rozkład jednostajny na przedziale [0,T_A]...

Moim zdaniem musisz więc policzyć wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathbb{E}\big(min(X,Y)\big)}\), gdzie zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne i mają rozkład jednostajny odpowiednio na odcinkach \(\displaystyle{ [0,T_A]}\) i \(\displaystyle{ [0,T_B]}\).








mi wyszło : \(\displaystyle{ \frac{\min(T_A,T_B)}2-\frac{\min(T_A,T_B)^3}{6T_AT_B}}\)

[ki_wi]

Tak, sa niezalezne i jednostajne.

Jestem ciekawy jak to wyznaczyleś.
Kombinuję tak:

Wprowadzam zmienna \(\displaystyle{ Z=min(A,B)}\) i wyznaczam jej dystrybuante:

\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = P(Z=min(A,B)

Czy to co napisalem ma sens?}\)

[Sir George]

Czy to co napisalem ma sens?

Ma, ale... wydaje mi się, że popełniłeś błędy w dystrybuantach.
Moim zdaniem być powinno:

\(\displaystyle{ F_A(z)=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \mbox{ dla } zT_A\end{array}\right.}\)

Podobnie dla \(\displaystyle{ F_B}\).


Zatem dystrybuanta wprowadzonej przez Ciebie zmiennej to
\(\displaystyle{ F(z)\, =\, \frac{T_AT_B-(T_A-z)(T_B-z)}{T_AT_B}}\)

A dalej już podobnie jak liczyłeś wcześniej....

[ki_wi]

Racja, zapomnialem o współczynnikach
Dziekuję Ci bardzo za pomoc!