Centralne twierdzenie graniczne z rozkładem jednostajnym

[lvi]

Przyjmując, że błąd zapisu drugiej cyfry po przecinku w systemie dziesiętnym
jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ U[-0.5,0.5]}\), oszacować
prawdopodobieństwo, że błąd powstały po zsumowaniu 1000 liczb będzie mniejszy niż 2.

Mógłby ktoś coś podpowiedzieć ?

[scyth]

\(\displaystyle{ n=1000 \\
E(U)=0 \\
D^2(U)=\frac{1}{12} \\
X= \sum_{k=1}^{1000} U \\
E(X) = 0 \\
D^2(X) = 1000 \cdot \frac{1}{12} = \frac{250}{3} \ \Rightarrow \ \sigma_X = \sqrt{\frac{250}{3}} \\
P (|X|<2) = P ( -2 < X < 2 ) = P \left( \frac{-2}{\sqrt{\frac{250}{3}}} < \frac{X-0}{\sqrt{\frac{250}{3}}} < \frac{2}{\sqrt{\frac{250}{3}}} \right) =\\=
\Phi(0,219) - \Phi(-0,219) \approx 0,587 - 0,413 = 0,174}\)

[lvi]

\(\displaystyle{ n=1000 \\
E(U)=0 \\
D^2(U)=\frac{1}{12} \\
X= \sum_{k=1}^{1000} U \\
E(X) = 0 \\
D^2(X) = 1000 \cdot \frac{1}{12} = \frac{250}{3} \ \Rightarrow \ \sigma_X = \sqrt{\frac{250}{3}} \\
P (|X|<2) = P ( -2 < X < 2 ) = P \left( \frac{-2}{\sqrt{\frac{250}{3}}} < \frac{X-0}{\sqrt{\frac{250}{3}}} < \frac{2}{\sqrt{\frac{250}{3}}} \right) =\\=
\Phi(0,219) - \Phi(-0,219) \approx 0,587 - 0,413 = 0,174}\)

Ok, ale z tyłu skryptu odpowiedz wynosi 0.97 a Twoje obliczenia wydają się być poprawne.

[scyth]

Można to łatwo sprawdzić "empirycznie", np. w excelu - zrób 1000 komórek w kolumnie A z formułą =RAND()-0.5 oraz w B1 wpisz =SUM(A1:A1001) - bardzo rzadko trafisz w przedział od -2 do 2. Nawet na pierwszy rzut oka tak wysokie prawdopodobieństwo jest podejrzane.