Mam znaleźć jednowymiarową statystykę dostateczną dla rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{E}(\mu, 1)}\) o gęstości
\(\displaystyle{ f_{\mu}(x) = \begin{cases} e^{-(x-\mu)} \qquad x \geq \mu \\ 0 \qquad wpp \end{cases}}\)
Intuicyjnie widzę dwie opcje: \(\displaystyle{ T_1(x_1, ..., x_n) = min \{x_i \}}\), \(\displaystyle{ T_2(x_1, ..., x_n) = \overline{x_i}-1}\), mówiące chyba dostatecznie dużo o rozkładzie. \(\displaystyle{ T_2}\) ze względu na wartość oczekiwaną (wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ \mu + 1}\), prawda?).
Próbowałem z kryterium faktoryzacji, ale mam wątpliwości:
\(\displaystyle{ f(x_1, ..., x_n) = f(x_1) \cdot ... \cdot f(x_n) = e^{-(x_1+...+x_n) + n\mu} \cdot 1}\)
No i w sumie to lewy czynnik jest zależny od \(\displaystyle{ \mu}\) i statystyki \(\displaystyle{ T_2}\), ale nie jestem pewien, czy rozumowanie jest ok.
Statystyka dostateczna, przesunięty rozkład wykładniczy
-
jakas_nazwa
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 28 sty 2014, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
-
wisnia1302
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 9 lut 2014, o 17:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
Statystyka dostateczna, przesunięty rozkład wykładniczy
Prawdopodobnie chodzi Ci o znalezienie statystyki dostatecznej dla próbki n-elementowej z przesuniętego rozkładu wykładniczego? W treści tak naprawdę nie zostało doprecyzowane, można się jedynie domyśleć, po Twoich próbach odpowiedzi.
Po pierwsze jak najłatwiej znaleźć statystykę dostateczną? Z kryterium faktoryzacji. Liczymy zatem funkcję wiarogodności, korzystając z niezależność:
\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= \prod_{i=1}^{n}f(x_i)=\prod_{i=1}^{n} e^{-(x_i-\mu)} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{x_i\geq \mu}=
e^{-\sum{i=1}^{n} (x_i-\mu)} \prod_{i=1}^{n} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{x_i\geq \mu}=
e^{-\sum{i=1}^{n} (x_i-\mu)} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{\min(x_i)\geq \mu}=e^{-\sum{i=1}^{n} x_i}e^{n\mu} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{\min(x_i)\geq \mu}}\)
Więc z kryterium faktoryzacji widzimy, że statystyką dostateczną jest \(\displaystyle{ T(x)=\min(x_i),}\) bo funkcję wiarogodności możemy zapisać jako
\(\displaystyle{ g_{\mu}(T(x))h(x)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ g_{\mu}(T(x))=e^{n\mu} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{T(x)\geq \mu}}\)
oraz
\(\displaystyle{ h(x)=e^{-\sum{i=1}^{n} x_i}}\)
[/latex]
Po pierwsze jak najłatwiej znaleźć statystykę dostateczną? Z kryterium faktoryzacji. Liczymy zatem funkcję wiarogodności, korzystając z niezależność:
\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= \prod_{i=1}^{n}f(x_i)=\prod_{i=1}^{n} e^{-(x_i-\mu)} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{x_i\geq \mu}=
e^{-\sum{i=1}^{n} (x_i-\mu)} \prod_{i=1}^{n} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{x_i\geq \mu}=
e^{-\sum{i=1}^{n} (x_i-\mu)} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{\min(x_i)\geq \mu}=e^{-\sum{i=1}^{n} x_i}e^{n\mu} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{\min(x_i)\geq \mu}}\)
Więc z kryterium faktoryzacji widzimy, że statystyką dostateczną jest \(\displaystyle{ T(x)=\min(x_i),}\) bo funkcję wiarogodności możemy zapisać jako
\(\displaystyle{ g_{\mu}(T(x))h(x)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ g_{\mu}(T(x))=e^{n\mu} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l} _{T(x)\geq \mu}}\)
oraz
\(\displaystyle{ h(x)=e^{-\sum{i=1}^{n} x_i}}\)
[/latex]