Zmienna X-rozk. t-studenta. Oblicz prawdopodobieństwo

[Yuriko1989]

Witam,
mam problem z następującym zadaniem:

Zmienna losowa X ma rozkład t-studenta o 15 stopniach swobody. Obliczyć
\(\displaystyle{ P(|X| \ge 1,753) = ?\\
P(|X| > 1,753) = ?\\
P(|X| < 1,753) = ?\\
P(|X| \le 1,753) = ?\\
P(X \ge 1,753) = ?\\
P(X > 1,753) = ?\\
P(X < 1,753) = ?\\
P(X \le 1,753) = ?}\)
Umiem odczytać z tablic, że \(\displaystyle{ P(|X| \ge 1,753) = 0,1}\) albo rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ P(|X| > 1,753) = 0,1:2 = 0,05}\) natomiast nie wiem jak i czy w ogóle da się poradzić z pozostałymi przypadkami?

Bardzo proszę o pomoc.

[szw1710]

Kwantyl \(\displaystyle{ t_{\alpha,n}}\) jest taką liczbą, że \(\displaystyle{ P(|X|\le t_{\alpha,n})=1-\frac{\alpha}{2}}\). Stąd to czytamy, a nierówności przeciwne załatwiamy prawdopodobieństwem zdarzenia przeciwnego.

Np. \(\displaystyle{ t_{0.02;15}=2.602}\). Dlatego \(\displaystyle{ P(|X|\le 2.602)=1-\frac{0.02}{2}=0.99}\). Teraz z symetrii \(\displaystyle{ P(X>2.602)=P(X<-2.602)=0.05}\), bo \(\displaystyle{ P(|X|>2.602)=0.01}\).

[Yuriko1989]

No dobrze, ale to nadal nie wyjaśnia mojego problemu, czy w ogóle da się policzyć te wszystkie przypadki? Dalej proszę o pomoc.
Szczególnie nie wiem jak policzyć w sytuacji gdy nie mam modułu.

[szw1710]

Moje wyjaśnienie plus odrobina dobrej woli pozwalają na rozwiązanie wszystkich przedstawionych zadań. Przecież pokazałem Ci jak to się robi bez modułu. Skorzystaj jeszcze z symetrii. Mamy też \(\displaystyle{ P(X\le 2.602)=1-P(X>2.602)=1-0.05=0.95}\). To wyjaśniłem powyżej.

[Yuriko1989]

Np. \(\displaystyle{ t_{0.02;15}=2.602}\). Dlatego \(\displaystyle{ P(|X|\le 2.602)=1-\frac{0.02}{2}=0.99}\). Teraz z symetrii \(\displaystyle{ P(X>2.602)=P(X<-2.602)=0.05}\), bo \(\displaystyle{ P(|X|>2.602)=0.01}\).[/quote]

Niestety w ogóle nie rozumiem tego skąd się biorą te wszystkie wyniki i MIMO DOBREJ WOLI I CHĘCI i siedzenia nad tym od dwóch dni jak mi nikt tego łopatologicznie nie wytłumaczy to nie zrozumiem.

Oto moje wypociny:

\(\displaystyle{ P(|X| \ge 1,753) = 1- \frac{0,1}{2} = 0,95\\
P(|X| > 1,753) = 1-(1-\frac{0,1}{2}) = 0,05 \\
P(|X| < 1,753) = \frac{0,1}{2} = 0,5\\
P(|X| \le 1,753) = 1- \frac{0,1}{2} = 0,95\\

P(X \ge 1,753) = P(X \le -1,753) =? \\
P(X > 1,753) = P(X<-1,753) = ?\\
P(X < 1,753) = ?????? \\
P(X \le 1,753) = 1-P(X>1,753) = ?}\)

Czy coś tutaj w ogóle jest dobrze policzone?

[szw1710]

Niestety, nic. Tutaj trzeba solidnego siedzenia, nie łopatologicznego tłumaczenia, którego się domagasz. Forum nie służy dawaniu darmowych korepetycji i wykładów dla jednej osoby. Celem Forum jest dawanie wskazówek. Podstaw studenci uczą się samodzielnie bądź studiując nasze kompendium. W tym wypadku, niestety, temat nie został jeszcze wyłożony.

To co napisać musiałbym tutaj, zrealizowałbym podczas godzinnego wykładu dla studentów.

Powiem tak: zapewne słyszałaś o kwantylach \(\displaystyle{ u_{\alpha}}\) rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Są to kwantyle rzędu \(\displaystyle{ 1-\frac{\alpha}{2}}\). Podobną rolę odgrywają w rozkładzie \(\displaystyle{ t}\)-Studenta o \(\displaystyle{ n}\) stopniach swobody kwantyle \(\displaystyle{ t_{\alpha,n}}\) rzędu \(\displaystyle{ 1-\frac{\alpha}{2}}\). Jak widzisz, najpierw trzeba bardzo dobrze opanować dystrybuanty i kwantyle, żeby w ogóle móc zabrać się do zadania. A Ty wymagasz, żebym to tutaj wszystko opisał.

[Yuriko1989]

Ok, dzięki.
Nie chciałam darmowych korepetycji tylko chciałam zrozumieć jak to się liczy

[szw1710]

To wyjaśniłem. Dopiero później dałem wykład o korepetycjach. Wszystko co potrzebne, w moim wyjaśnieniu się znajduje.

[ernestzx]

odkopuję. A dlaczego \(\displaystyle{ P(X > 2.602) = 0.05}\) ? tzn prosiłbym o rozwinięcie dlaczego akurat 0.05

[szw1710]

Z tablic dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ t}\)-Studenta odczytaj prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

[ernestzx]

czyli \(\displaystyle{ P(X \le 2.602)}\). To jest\(\displaystyle{ P(\left| X\right| \le 2.602)}\) tylko podzielone przez 2??

[szw1710]

Na ogół \(\displaystyle{ X\ne |X|}\). Znajdź te tablice i odczytaj prawdopodobieństwo, które sugeruję.

[ernestzx]

to tam nie powinno być 0.005? mam tablice i wiem jedynie co kolega na początku.

[szw1710]

Jako tablic użyłem oprogramowania R.

Kod: Zaznacz cały

> 1-pt(2.602,df=15)
[1] 0.01000957

Obliczyłem \(\displaystyle{ P(X>2.602)=1-P(X\le 2.602)}\).

Parametr df oznacza stopnie swobody (degrees of freedom).

[ernestzx]

no właśnie a wcześniej pisałeś że to prawdopodobieństwo wynosi 0,05