test jednostajnie najmocniejszy
test jednostajnie najmocniejszy
Niech \(\displaystyle{ ( X_{1},...,X _{n})}\) ma rozkład wykładniczy \(\displaystyle{ \varepsilon(\theta)}\), \(\displaystyle{ \theta>0}\). Wyznacz test jednostajnie najmocniejszy na poziomie istotności\(\displaystyle{ \alpha =0.05}\) do weryfikowania hipotezy \(\displaystyle{ H _{0}: \theta \le 2}\) lub \(\displaystyle{ \theta \ge 4}\), przy hipotezie alternatywnej \(\displaystyle{ H _{1}: 2<\theta<4}\).
-
miodzio1988
test jednostajnie najmocniejszy
Ogólnie to jest lemat Neymana-Pearsona i tw. Karlina-Rubina, ale one są dla innych hipotez. W zadaniu powyżej korzystam z tego, że jeśli próba należy do jednoparametrowej rodziny wykładniczej o pewnej postaci gęstości, wtedy istnieje test JNM na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\) określony w następujący sposób:\(\displaystyle{ \phi(x)= \begin{cases} 1, \ gdy \ k _{1}<S(x)<k _{2} \\ \gamma _{i}, \gdy \ S(x)=k _{i},\ i=1,2 \\ 0, \ gdy\ S(x)<k _{1}\ lub \ S(x)>k _{2} \end{cases}}\), gdzie wszystkie stałe są wyznaczane z warunku\(\displaystyle{ E[\phi(x)]= \alpha}\)